「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

高校数学、集合で「閉じている」という用語がありますが、よくわかりません。{-1,0,1}の集合は加法について閉じていないのでしょうか。-1+0=-1,-1+1=0,0+1=1となり、全ての要素が他の要素の加算により得られるので、加法について閉じているといえそうな気がするのですが。問題集の解答は、「乗法についてのみ閉じている」となっていますが、-1=-1*1,0=0*1,1=1*1だからでしょうか。あるいは、なにか根本的なところが理解できていないのでしょうか。
よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

> なにか根本的なところが理解できていないのでしょうか。



「閉じている」という言葉の意味が理解できていません。

集合 S が、ある演算について「閉じている」とは、
S の元をどれでも取ってきて、その演算を施すと、
値は S の元である …ということです。
なので、No.1 が反例になります。

> 全ての要素が他の要素の加算により得られるので、
> 加法について閉じているといえそうな気がするのですが。

S の元はどれも、S の元からその演算で作られる
…という意味ではありませんよ。
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この回答へのお礼

よくわかりました。有り難うございました。

お礼日時:2009/05/09 11:39

集合Aが演算*に対して閉じている,ということは,任意のAの元a,bに対してa*b∈Aとなることです。


今の場合,加法(演算は+)について閉じているならば,{-1,0,1}の任意の元a,bに対してa+b∈{-1,0,1}となります。しかし,a=b=1のとき,a+b=2∈{-1,0,1}にならないため加法では閉じていません。
乗法(演算は×)については,a,bが-1,0,1のどれであってもa×bは{-1,0,1}の元のどれか(即ち-1,0,1のどれか)になるため,乗法について閉じています。

というかこれは高校範囲ではなく,大学範囲では…
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この回答へのお礼

教科書にはないが、問題集にあるのでわからずに困っていました。
よくわかりました。有り難うございました。

お礼日時:2009/05/09 11:37

加法については閉じていません。


反例として1+1=2があります。
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この回答へのお礼

そういうことですか。よくわかりました。有り難うございました。

お礼日時:2009/05/09 11:40

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Q閉じている集合

4数からなる集合Aがあり、乗法と除法に関して閉じている。このとき、
 (1)4数を求めよ。
 (2)集合Aは、(1)の答えである組のみであることを示せ。

おそらく、この4数とは、{1,-1,i,-i}だと思うのですが、(2)の証明が思いつきません。どなたか、ご教授ください。

Aベストアンサー

乗法に関して閉じているということから
A1,A2,A3,A4の内の一つの数xは、
x、x^2、x^3、x^4が
A1,A2,A3,A4の組のどれかになり巡回しなければならないことから
x^5=x
(5乗すると元に戻る)を満たしていなければならない。
上の式を解くと
(x^2+1)(x-1)(x+1)=0となって
題意を満たすxはiしかない
よって{i,-1,-i,1}の一組である

Q加法・整数倍について閉じているということ。

整数の集合Zは加法および整数倍について閉じているということを習いました。
その発展問題なんですが、教えてください。

a,b∈Zとします。
ここで、aZ+bZの定義とは何でしょうか??
また、「aZ+bZが加法および整数倍について閉じている」ということはどう示したらよいのでしょうか??

教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

条件を省略して書かせてもらいます。略解

(am+bn)+(am'+bn')=a(m+m')+b(n+n')
Zは加法について閉じているから
m+m’∈Z,n+n’∈Z
よって aZ+bZは加法について閉じている。

k∈Zとするとき
k(am+bn)=a(km)+b(kn)
km∈Z,kn∈Z
よって aZ+bZは整数倍について閉じている。

Q逆関数の合成について

関数f(x)の逆関数f^-1(x)が存在する時、
(f^-1*f)(x)=x *は合成関数の時に使う○のつもりです

が成り立つと思うのですが、これはどう証明すればよいのでしょうか?
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

 いちいちf^-1じゃ鬱陶しいので、fの逆関数をf~とでも書きましょうか。

「fの逆関数が存在する時」と簡単に仰っていますが、「逆関数」という言葉をどういう意味で使うか、fの定義域Aや値域Bをどのように取るかによって、fの逆関数f~の意味するところは異なり、ご質問の命題
∀x(x∈A⇒f~(f(x))=x)
が正しいかどうかもまた異なります。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 まず、以下の例をご覧下さい。
●実数の集合をRと書き、非負の実数の集合をPと書くことにします。
P={x|x∈R ∧ x≧0} (∧はandの意味です)
そして関数f(x)を
f:R→P、f(x)=x^2
と定義します。このとき
g:P→R、g(y)=√y
について、質問者のstripeさんは「gはfの逆関数だ」と言うかどうか。
g(f(x))=√(x^2)=|x|  (xに-1を代入してみれば分かります)
であるから、
∀x(x∈R⇒g(f(x))=x)
は偽です。
●しかし、hを
h:P→P、h(x)=x^2
と定義すると
∀x(x∈P⇒g(h(x))=x)
は真ですね。
●ところで
∀x(x∈P⇒f(g(x))=x)
は確かに成り立ちます。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 さて本筋です。
 通常「逆関数」とは以下の意味で使います。
(DEF1): f:A→Bが全単射であるとき、f(a)にaを対応させる写像f~:B→Aをfの「逆関数」と(「逆写像」とも)言う。
(DEF2):「全単射」とは、「全射」であって、しかも「単射」であることです。
(DEF3):f:A→Bが「全射」であるとは、
∀y(y∈B ⇒∃x(x∈A ∧ f(x)=y)
であることです。
言い換えれば、値域Bは、丁度実際にf(x)の値としてあり得る要素の集合である、という意味です。
(DEF4):f:A→Bが「単射」であるとは、
∀x∀y((x∈A ∧ y∈A ∧ x≠y)⇒f(x)≠f(y))
となることです。単射を「1:1対応」と呼ぶこともあります。

 これらの定義に従えば、
∀x(x∈A⇒f~(f(x))=x)
∀y(y∈B⇒f(f~(y))=y)
は当たり前で、いやもう、ほとんど定義そのものと言えます。どう証明すればよいかは、定義をきちんと読めば自明と思います。

 ここで、先ほどの例に戻ってみますと、
f:R→P, f(x)=x^2
は確かに全射になっています。(もしこれがf:R→R, f(x)=x^2だったら全射ではありません。)
しかし、
f(1)=f(-1)
であるから、単射ではない。このため、逆関数はそもそも定義されません。

g:P→R, g(x)=√x
はどうでしょうか。g(x)は実際には正の値にしかならないのだから、全射ではありません。従って、逆関数は定義されない。
∀x(x∈P⇒f(g(x))=x)
であるにも関わらず、fはgの逆関数ではないのです!

h:P→P, h(x)=x^2
は全射で、そして単射でもありますから、逆関数が定義されます。そのような逆関数は
∀x(x∈P⇒j(h(x))=x)
∀x(x∈P⇒h(j(x))=x)
を満たす関数、ということですから、
j:P→P, j(x)=√x
であって、これも全単射であり、確かに
∀x(x∈P⇒j(h(x))=x)
∀x(x∈P⇒h(j(x))=x)
が成り立つ。
これでようやく、
j=h~, h=j~
と言えるわけです。

 いちいちf^-1じゃ鬱陶しいので、fの逆関数をf~とでも書きましょうか。

「fの逆関数が存在する時」と簡単に仰っていますが、「逆関数」という言葉をどういう意味で使うか、fの定義域Aや値域Bをどのように取るかによって、fの逆関数f~の意味するところは異なり、ご質問の命題
∀x(x∈A⇒f~(f(x))=x)
が正しいかどうかもまた異なります。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 まず、以下の例をご覧下さい。
●実数の集合をRと書き、非負の実数の集合をPと書くことにします。
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QWord 文字を打つと直後の文字が消えていく

いつもお世話になっています。
Word2000を使っているものです。
ある文書を修正しているのですが,文章中に字を打ち込むと後ろの字が消えてしまいます。
分かりにくいですが,
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Aベストアンサー

入力モードが「挿入」(普通の入力)から、「上書き」になってしまっているのだと思われます。
キーボードに[Insert]というキーがあると思いますので、1度押してみてください。

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
...続きを読む

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q絶対値の微分

|x|/(x^2+1)の導関数を求めよ。

絶対値の微分がわかりません!教えてください(m__m)

Aベストアンサー

f(x)=|x|/(x^2+1)
x>0のとき
f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2
x<0のとき
f'(x)=(x^2-1)/(x^2+1)^2
x=0のとき
右微分係数
f'+(0)=lim_{x→+0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}1/(x^2+1)=1
左微分係数
f'-(0)=lim_{x→-0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}-1/(x^2+1)=-1
f'+(0)=1≠-1=f'-(0)
だから
x=0のとき微分不可能だから導関数は存在しない

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。


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