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高校数学、集合で「閉じている」という用語がありますが、よくわかりません。{-1,0,1}の集合は加法について閉じていないのでしょうか。-1+0=-1,-1+1=0,0+1=1となり、全ての要素が他の要素の加算により得られるので、加法について閉じているといえそうな気がするのですが。問題集の解答は、「乗法についてのみ閉じている」となっていますが、-1=-1*1,0=0*1,1=1*1だからでしょうか。あるいは、なにか根本的なところが理解できていないのでしょうか。
よろしくお願い致します。

A 回答 (3件)

> なにか根本的なところが理解できていないのでしょうか。



「閉じている」という言葉の意味が理解できていません。

集合 S が、ある演算について「閉じている」とは、
S の元をどれでも取ってきて、その演算を施すと、
値は S の元である …ということです。
なので、No.1 が反例になります。

> 全ての要素が他の要素の加算により得られるので、
> 加法について閉じているといえそうな気がするのですが。

S の元はどれも、S の元からその演算で作られる
…という意味ではありませんよ。
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この回答へのお礼

よくわかりました。有り難うございました。

お礼日時:2009/05/09 11:39

集合Aが演算*に対して閉じている,ということは,任意のAの元a,bに対してa*b∈Aとなることです。


今の場合,加法(演算は+)について閉じているならば,{-1,0,1}の任意の元a,bに対してa+b∈{-1,0,1}となります。しかし,a=b=1のとき,a+b=2∈{-1,0,1}にならないため加法では閉じていません。
乗法(演算は×)については,a,bが-1,0,1のどれであってもa×bは{-1,0,1}の元のどれか(即ち-1,0,1のどれか)になるため,乗法について閉じています。

というかこれは高校範囲ではなく,大学範囲では…
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この回答へのお礼

教科書にはないが、問題集にあるのでわからずに困っていました。
よくわかりました。有り難うございました。

お礼日時:2009/05/09 11:37

加法については閉じていません。


反例として1+1=2があります。
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この回答へのお礼

そういうことですか。よくわかりました。有り難うございました。

お礼日時:2009/05/09 11:40

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