有理数と実数とではどちらが多いか

有理数も実数も無限に多く存在しますよね？上限も下限も無いですし。
私は実数の方が有理数より多く存在すると思うんですけど、実際のところはどうなんでしょうか？どちらも無限にあるから、なんともいえませんでしょうか？これって、証明とかされてるんですか？だとしたら、わかり易く教えていただきたいです。ご教授お願いします。

No.9 ベストアンサー 回答者： moritan2 回答日時： 2006/03/24 01:50

無限集合の比較をするとき、２つの集合の要素同士を１対１に対応させることができるなら、一方が一方より多いとはいえません。

すべての整数の集合と、すべての偶数の集合は、すべての整数の集合のnに対して、すべての偶数の集合の2nを対応させると、２つの集合は１対１のペアを作れますから、同じ濃度です。無限集合でも一番下の階層は、自然数の集合と１対１に対応させられます。整数の集合も偶数の集合もそうだし、初めてのときは意外な気がしますが、有理数の集合も自然数の集合と１対１にできます。

一方無理数の集合はどのようにしても自然数と１対１に対応させることができないことがカントールの対角線論法という方法で証明されています。

対角線論法というのは次のようなものです。話をわかりやすくするために無理数を０以上１未満の無理数に限定して考えます。自然数と無理数をもし１対１に対応させることができるならば、すべての無理数を含む表を作ることができるはずです。たとえば、つぎのような表です。

1 3865356457849305768933257570937834780.......
2 906456875836903690289080238905829034........
3 37485375896083456908345683095680367..........
4 324778967894567876895789743527387482374890....
5 2364568345643576534278546654565647986...
6 029356784568374689378569735638975986...
7 017537637284653683678365378368..........
8 67323425238734978237845789306784..........
9 23897465783465783874689754389..
10 37753475894758943789578435789
...........................
.................................

こんな表ができて、この表にはすべての無理数が含まれているはずです。無理数の部分は無理数の0.以下の小数部と考えてください。

ところが、この表の無理数の部分の左上から斜めに数字を拾って、3047566579.... という数字の列にさらに各数字が０～８の時は＋１し、９の時は０にするという操作をやってみます。4158677680..... という無理数が作れます。この数字は表のどこかにあるでしょうか？　絶対にありません。すべての無理数を含む表を作ったはずなのに、この表に絶対に現れない無理数ができてしまう。これが、カントールの対角線論法といわれる、すべての無理数を自然数と対応させることができないという証明です。

つまり、すべての有理数は自然数と１対１に対応させることができるのに対し、無理数はできないので、無理数が有理数より多いといわれているわけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。カントールの対角線論法で証明が為されていたんですね。

お礼日時：2006/03/24 07:31

No.11 回答者： jmh 回答日時： 2006/03/24 06:25

#9 です。

> 質問の回答が質問になっている…
>
←ここに（小さく）「種類：補足要求」とあるときは、例えば「質問が曖昧なので説明して欲しい」という意味です。

ある無限が他の無限よりも「多い（大きい？）」とは何んですか？

> 実数の方が有理数より多く存在すると思う
>
どうしてそう思うのか、理由を教えてください。包含関係ですか？

それとも、この質問は「どちらが多いか？」だけではなくて「比較方法が存在するか？」も同時に訊いていますか？

この回答への補足

>どうしてそう思うのか、理由を教えてください。包含関係ですか？

はい、包含関係です。

補足日時：2006/03/24 07:35

この回答へのお礼

皆様の御回答参考に少しですが理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2006/03/24 07:44

No.10 回答者： moritan2 回答日時： 2006/03/24 02:08

書き忘れましたが、すべての有理数が自然数と対応できる証明です。

まず、正の有理数が自然数と１対１に対応することを示します。正の有理数は、横に分母、縦に分子を取った二次元の表のどこかに存在します。で、この表のすべての場所に、次のように通し番号を付けることができます。

1 2 4 7 11 16
3 5 8 12 17
6 9 13 18
10 14 19
15 20
21

すべての正の有理数に通し番号をつけられるわけなので、すべての正の有理数は自然数と対応するということです。で、これをちょっとひねって通し番号のnを2n+1に、負の有理数を2nに、有理数の０を１に対応させれば、すべての有理数が自然数に１対１に対応したことになりました。

この回答へのお礼

参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2006/03/24 07:33

No.8 回答者： jmh 回答日時： 2006/03/23 09:16

ここでの「多い」が「濃度」を意味しないのなら、「多い」とは何ですか？

> 実数の方が有理数より多く存在すると思う…
>
なぜ？

逆に、有限の場合は「思う」だけではないと思います。たとえば、Ａ＝｛１，２，３｝とＢ＝｛４，５｝では、なぜ、Ａの方が「多い」のでしょうか？
同じ方法で、無限を比較できますか？

この回答への補足

つまり、どういうことですか？質問の回答が質問になっているような・・・

補足日時：2006/03/23 13:07

この回答へのお礼

はいありがとうございました

お礼日時：2006/03/24 07:43

No.7 回答者： noname#24477 回答日時： 2006/03/23 02:35

有理数が実数に含まれるから実数の集合のほうが大きい

というだけであれば濃度という考え方は必要ありません。
（それは含む含まれるの関係だけです）

偶数の集合は整数に含まれますが、濃度としては等しい
という例から分かるとおり（それは理解しておいでで
しょうか？）濃度と包含関係は別物です。

ここで詳しい説明を求めておられますがそれは無理というものです。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。偶数と整数の濃度が等しいというのは知りませんでした。というより、何故？謎が謎を呼びますね。濃度って各要素間の間隔みたいなものってことですかね？詳しい説明が無理ってのは、このサイトの限界なんですかねぇ～。

お礼日時：2006/03/23 08:02

No.6 回答者： yoikagari 回答日時： 2006/03/22 21:43

喧嘩腰で反論されるとは思わなかったな。

自分が気に入らない解答を排除するとは余りにも幼稚だな。

もう一度聞くよ、何でURLを示す解答は駄目なんだ。

数学の場合、指数も添字も満足に表示できない掲示板で解答するより、表現が自由なURLを使った方が、良い回答ができる場合が多々ある。

しかも、この手の有名問題には、優れた解答があるURLがたくさんある。
それを何で、いちいちつたなく再構成する必要があるわけ？

頭があるんだろ、くだらない鸚鵡返しではなく「どうしてURL表示の解答がいけないのか」きちんと論理的に説明してくれよ。

この回答への補足

自分が論理的とでも？

補足日時：2006/03/22 23:11

この回答へのお礼

御無礼致しました師匠。

お礼日時：2006/03/24 07:41

No.5 回答者： noname#110252 回答日時： 2006/03/22 10:56

全ての有理数は実数であるからです。

そもそも有理数は分数で表すことができる数で、実数は数直線上で定義ができる数です。全ての有理数は数直線上で定義できます。
#4さんのURLでは、「集合Aが集合Bのなかに埋め込める，つまりの部分集合との間に一対一対応が存在するとき，濃度の関係は|A|≦|B|である」と書かれています。つまり、有理数という集合Aは、実数という集合Bに組み込まれるため、濃度は実数のほうが大きくなります。

この回答へのお礼

わかり易いアドバイスありがとうございます。良く考えてみたらそうですよね、全ての有理数は実数なんですよね。濃度という概念は、面白いもんですね。

お礼日時：2006/03/22 23:09

No.4 回答者： yoikagari 回答日時： 2006/03/21 18:59

私のつたない説明よりも、以下のサイトをご覧ください。

実数の方が有理数より「多く」存在することの証明が詳しく書いてあります。

P.S.
濃度の概念無しに「無限」を語るのは厳しいですよ。
無限の「大きさ」を見る上で必要不可欠ですから、腹をくくって「濃度」と言う概念に慣れてください。

参考URL：http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwa3/t …

この回答へのお礼

ありがとうございやした。

お礼日時：2006/03/24 07:38

No.3 回答者： a-saitoh 回答日時： 2006/03/20 11:11

大学でこのあたりを教わってからもう長い年月が経つのでうろ覚えですが。

無限に多いものに普通の意味での(「100個より1000個が多い」というような自然な発想での)大小関係は付けられません。

そこで数学では、ANo.1で言われているように「濃度」という概念で無限大を類別します。

濃度という考え方では、自然数、整数、偶数、奇数、有理数はすべて同じカテゴリ(「可算無限」、アレフ0、などといいます)に入ります。

一方実数の濃度は可算無限ではないことが証明されています。

詳しくはANO.1の参考URLをごらんください。

この回答へのお礼

回答有難うございます。実数は可算ではないというのは、なんとなくわかります。濃度は、少し知っていましたが、濃度無くして証明は不可能ですか。

詳しく、わかり易く、説明してくださる能力をお持ちの方、説明お願いします。URLじゃなしに。

お礼日時：2006/03/20 16:58

No.2 回答者： proto 回答日時： 2006/03/20 10:58

集合の濃度を比べることはできます。

ここで説明するより参考のページ見てもらった方が早いと思います↓

参考URL：http://www.gcc.ne.jp/~narita/prog/math/01/

この回答へのお礼

参考URLありがとうございます

あの、つまり、どういうことなんでしょうか？わかり易く説明して頂きたいんですが。それが可能な方、宜しく御願いします。

お礼日時：2006/03/20 16:54