開集合・閉集合について

開集合と閉集合の定義がいまいち分かりません。

イメージとして、
(a,b)・・・開集合
[a,b]・・・閉集合
(a,b]や[a,b)・・・開集合でも閉集合でもない
というイメージなのはなんとなく理解できたのですが、、、
使っている教材に、

開集合A:⇒Aに含まれる∀xのε近傍が存在する

と書いてあり、補足のところには

「開集合：開区間を含む集合！」

と書いてあります。

ここで、[1,10]は閉集合となるとは思うのですが、[1,10]は開区間(4,5)等を含むので、開集合になるのではないでしょうか、、、？（ならないことは分かっています、、ただ自分が理解できないだけで、、、）
今質問を書いているうちに、そもそも開区間と開集合の違いすら分からなくなってきました、、、
(a,b)や[a,b]が開集合/閉集合ってことは、開「集合」や閉「集合」も「区間」なのですか、、、？


ちゃんとまとまっておらず、ほんっっっとに頓珍漢な質問ばかりでごめんなさい、、、どなたか教えて下さると嬉しいです。。。

質問者からの補足コメント

• あああ、∀x∊Aとするから(4,5)みたいには取れないんだ、、、
  [1,10]が開集合にならない理由だけ分かりました（多分）、、

    補足日時：2022/11/04 14:03

• 閉集合の定義
  A⊂R(実数)
  R - A が開集合⇒Aは閉集合
  ってどういうことだろう、、、
  
  例として[1,10]はおそらく閉集合？で、
  Ｒ - [1,10] = （-∞,１]∨[10,∞)、、、？
  点１や１０ではε近傍が取れないからこれは開集合ではない（？）
  ってことはやっぱり[1,10]も閉集合ではない...？
  
  本当に自分が意味不明なことを言っているのは分かっているのですが、理解ができず今頭の中でこんなこと（↑）を考えてしまっています。。。

    補足日時：2022/11/04 14:13

• そもそも開円板、内点も理解できていないです、、、涙
  また、定義で出てくる(a,b)が開区間を示しているのかベクトルを示しているのか、点(?)を示しているのかの区別が難しいです。。。
  
  質問ばかりで本当に申し訳ございません、、、数日自分で考えてみましたが一向に分からずに進めず、、偏微分の範囲に入りたいけど入れないのです、、、

    補足日時：2022/11/04 14:22

No.4 回答者： 確変 回答日時： 2022/11/06 00:03

貴方の質問に対して, ご希望に添えるような回答はできません.

間違ったことを前提とした質問なので.
アドバイスとしては,
1. その教材は二度と使わない（読んでいて, 気持ち悪くなりました）
2. 大学数学の独学は不可能なので, 独学以外の方法で学ぶ（または, 学ぶことをあきらめる）
以上です.

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/05 13:58

「数直線」の「区間」だけを考えるのは却ってわかりにくいかもしれないな、と思う。

（∵ 空間の点と距離がどっちも実数なので、ごっちゃになるから。）むしろ、n次元ユークリッド空間(R^n)でひとまずイメージをつかんで、翻ってn=1の「区間」の話なんかアタリマエに見えるようになった上で、ちょっと一般化して距離空間で納得する。そしてさらに（必要なら）ホンカク的に位相空間一般の抽象的な話を仕切りなおす、というのが良いのではないかなあ。

というわけで、まずはn次元ユークリッド空間で考えてみる。（以下、ε∈R, r∈R, x∈R^n, y∈R^n, c∈R^n, A⊂R^n などなどは書き込むと煩雑になっちゃうから省略。）

[1] 開円板だの開区間だの。
　点xと点yのユークリッド距離 d(x,y) が肝心カナメ。(n=1だとd(x,y)とは「x,yの差の絶対値 |x-y|」で済んでしまうが。）
　c, r （such that, c∈R^n ∧ r∈R ∧ r＞0） について「中心がcにある半径rの開円板C」とは
　　C = { x | d(x,c)＜r }
のこと。特にn=2の場合なら、点をベクトルの成分表示でc=(c1,c2), x=(x1, x2)と表せば
　　C = {(x1,x2) | √((x1-c1)^2 + (x2-c2)^2) ＜ r }
だから、これを「半径rの円板からフチを除いたもの」と言い表せる。
　さて、「開区間(a,b)」とは、n=1の場合の「中心が(a+b)/2にある半径(b-a)/2の開円板」に他ならない。

[2] 開集合ってのは何か。
中心がxにある半径εの開円板を
　　U(ε,x) = { y |d(x,y)＜ε}
と書くことにする。Aが開集合とは
　　∀x(x∈A ⇒ ∃ε(ε>0 ∧ U(ε,x)⊂A))
ということ。Aのどのxについても「U(ε,x)⊂Aになるようなεが選べる」という、そういうAが開集合。
　でも、U(ε,x)を経由しないで（展開して）考えたほうが良い場合もあるかも。すなわち：
　Aが開集合 : ∀x(x∈A ⇒ ∃ε(ε>0 ∧ ∀y( d(x,y)＜ε ⇒ y∈A )))
つまり「x∈Aであるどのxについても、『xとの距離がε以下であるようなどんな点yもy∈Aである』ようなε（>0）が選べる」ってこと。
　さて、中心がcにある半径rの開円板Cは、それ自体が開集合。なぜなら、x∈Cであるxについて、d(x,c)＜rなのだから、r-d(x,c)＞ε＞0であるようなεをナンテモイイから選べば（たとえばε=(r-d(x,c))/2とすれば）、U(ε,x)⊂C。
　n=1で開区間(a,b)（a＜b）の場合なら同様に、x∈(a,b)について、ε=min(x-a,b-x)/2とすればU(ε,x)⊂(a,b)。(min( )は「小さい方」という意味。）

＊ちなみに、2次元ベクトルx=(x1, x2)とy=(y1, y2)の距離d(x,y) を |x1-y1|+|x2-y2| (この| |は普通の絶対値のこと）と定めると（この距離を「マンハッタン距離」と呼ぶ）、この（ユークリッド空間ではない）2次元ベクトル空間における円 {x | d(x,c)=r}は、グラフに描くと正方形になり、だから円周率は2√2。（「円が丸いなんて誰が決めた！」という話です。）

[3] 開集合を合成する。
　開集合同士のunion ∪ と intersection ∩ について
　　有限個の開集合のunionは開集合
　　有限個の開集合のintersectionは開集合
は容易に証明できるでしょう。（ユークリッド空間に限らず成り立つ話だけれども、ともあれ）いろんな「領域」（n=1の場合は「区間」）が開集合になっているかどうか考えるのに役立つ。たとえばn=1の場合、二つの開区間のunion、(a,b)∪(c,d)は開集合だとわかる。
　この規則は無限個の開集合同士のunionでも成り立つ。例えば、ユークリッド空間でn=1の場合に区間(z,z+1)とは
　　(z,z+1) = {x | z ＜x＜z+1} (z∈Z)
のことで、これは開集合。なのでこれらの無限個のunion　∪ {(z,z+1) | z∈Z} も開集合。
　しかし、無限個の開集合同士のintersectionは開集合とは限らない、というのが注意点。（たとえば開区間の列 (-1/k, 1/k) (k=1,2,…)を考えれば…）
（なお、
＞「開集合：開区間を含む集合！」
ってのは謎だ。）

[4] 閉集合は何者か。
　開集合の（空間全体に対する）補集合を閉集合と言う。なので、
　　閉集合Bとは、 Bの（空間全体に対する）補集合が開集合であるもの。
　　開集合Aとは、 Aの（空間全体に対する）補集合が閉集合であるもの。
とも言える。
　たとえばn=1の場合に、
　　B = Z （Zは整数全体の集合）
とすると、BのRに対する補集合は ∪ {(z,z+1) | z∈Z}で、これは開集合だからBは閉集合。同様に
　　B = {0}
とすると、BのRに対する補集合は (-∞, 0)∪(0,∞)で、これは開集合だから、Bは閉集合。また例えば
　　B = R
とすると、BのRに対する補集合は空集合∅。∅とRが開集合であることは容易に証明できるでしょう。なので、Rも∅も、開集合でありかつ閉集合でもある。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/04 16:04

記号については「やたら厳密」なところと「かなりいいかげん」なところがあるから混乱しちゃうよね.... そこはがんばって乗り越えるしかないところだけど....

さておきちょっとだけいく.

まず質問文最後の
「(a,b)や[a,b]が開集合/閉集合ってことは、開『集合』や閉『集合』も『区間』なのですか、、、？」
のところは逆で, 区間 (a, b) が
{ x ∈ R | a < x < b }
のような集合として扱えるよ, ってこと. とはいえ「補足」にあるとかいう
「開集合：開区間を含む集合！」
の意味はわからん. 集合の話で「含む」とだけ書くのは, 「要素として」含むのか「部分集合として」含むのかが曖昧になるから避けるべきなんだけどねぇ. そこをおいても謎だけど.

あと
Ｒ - [1,10] = （-∞,１]∨[10,∞)、、、？
のところは記号がおかしい (∨ じゃなくって ∪ だよね) うえに正しくは
R - [1, 10] = (-∞, 1) ∪ (10, ∞)
だね. 1 や 10 は区間 [1, 10] に属してる.

なお「開円板」は 2次元でひらたくいうと「周を含まない円板」の意味. 「S の内点」は「S に属していて, それを中心とするてきとうな半径の開円板が S に (部分集合として) 含まれる点」だけど単純化していうと「自分のまわりには S の点しか存在しないですよ」っていう点. 開円板に属するどの点も内点になるけど, 閉円板 (周も含む) ではその周上の点は内点にならない.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/11/04 15:55

ちゃんとした本を読んで定義を調べればよい。