近傍系と基本近傍系

N（ⅹ）を近傍系とします。近傍系の4つの公理をみたしています。N（ⅹ）∋U　のとき
Uに含まれる開集合Oでｘを含むものは必ずあるのでしょうか。N（ⅹ）に属する集合を
開集合とはしていません。たんなる集合です。

質問者からの補足コメント

• 点xの近傍Vの定義として、「開集合Oが存在して「{x}⊂O⊂V」
  を採用しないで、
  近傍系のN（x）公理から近傍を定義するときの質問です。
  開集合から定義するときは当然ですが。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/15 19:41

• Ｘの元pについて近傍系N(p)とはＸの部分集合の族で次をみたすものです。
  (1) N(p)∋V ⇒ V∋ｘ
  (2) N(p)∋V、 V⊆W ⇒ N(p)∋W
  (3) N(p)∋ V、U　⇒ N(p)∋ V∩U
  (4) 任意のV∈N(p) に対し，あるW∈ N(p) が存在して，任意のy∈ W に対しV∈ N(y) となる．

    補足日時：2022/07/16 13:48

• 

  反例　有難うございまいした

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/19 12:19

• 

  ２０ページの（b）のはじめの２行目　Mの開核∈ドイツ語文字Ｏはどうしてですか
  また｛　｝の中のＯは開集合ですか、それとも単なる集合ですか

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/19 13:14

• ２０ページの（b）の証明中
  はじめの２行目　
  M∈Ｒ(ｘ）⇒　ｘ∈Mの開核∈ドイツ語文字Ｏ =｛O⊆ X｜・・・・s.t.　V⊆ O｝ で
  Mの開核∈｛O⊆ X｜・・・・s.t.　V⊆ O｝がわかりません。
  また｛　｝の中のＯは開集合ですか、それとも単なる集合ですか

    補足日時：2022/07/20 00:41

• 

  M∈Ｒ(ｘ）のMの条件は　ｘ∈Mの開核　だけですよね。今のとこ　N (ｘ)とは無関係ですよね。
  さて　Mの開核の元ｙに対し　Mの開核の部分集合Vを　どのようにN (ｙ)からみつけることができるのか

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/23 13:25

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/16 14:59

集合をX=R=(全実数の集合)とする

p∈X
に対して
pを要素とするXのすべての部分集合の族を
N(p)={U⊂X|p∈U}
とすると

(1)
N(p)∋V
ならば
p∈V⊂X

(2)
N(p)∋V⊂W
ならば
p∈V⊂W
p∈W⊂X
だから
N(p)∋W

(3)
N(p)∋V,U
ならば　
p∈U⊂X
p∈V⊂X
p∈V∩U⊂X
だから
N(p)∋ V∩U

(4)
任意のV∈N(p) に対し，
W=V
とすると
W=V∈N(p)
任意のy∈W=V
y∈V⊂X
だから
V∈N(y)

だから

N(p)は4つの公理を満たす

1点p∈Xからなる集合{p}=Uに対して
p∈{p}⊂X

だから
U={p}∈N(p)

U={p}に含まれる集合でpを含むものはU={p}だけで
U={p}はRの通常位相では開ではない
けれども
N(p)を近傍系とする位相は離散位相になり
離散位相ではU={p}は開になる

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/20 10:31

集合

Xの位相O～が定義されている場合
(X,O～)を位相空間といい
OがO～の要素であるO∈O～の時
Oは位相空間(X,O～)の開集合であるといいます

Oが開集合であるかどうかは

Xの位相O～=(開集合の集合)がどのように定義されているかによって決まります

Xの位相O～を
O～={φ,X}
と
定義すれば
Xの開集合はφ,と,Xだけでその他のXの部分集合は開でないということになります
このときのO～を密着位相といい
(X,O～)を密着位相空間といいます

Xの位相O～を
Xのすべての部分集合の族
O～={S|S⊂X}
と
定義すれば
Xのすべての部分集合は開集合ということになります
このときのO～を離散位相といい
(X,O～)を離散位相空間といいます

20ページで
証明.題意を満たすNに対し
O～= {O ⊂ X | ∀x ∈ O, ∃V ∈ N (x) s.t. V ⊂ O}
と定める
…
と書いてあるように
O～を
Xの位相=(開集合の集合)として
定義できるから
定義しているのです

No.8 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/07/20 01:27

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２０ページの（b）の証明中
はじめの２行目　
M∈Ｒ(ｘ）⇒　ｘ∈Mの開核∈ドイツ語文字Ｏ =｛O⊆ X｜・・・・s.t.　V⊆ O｝ で
Mの開核∈｛O⊆ X｜・・・・s.t.　V⊆ O｝がわかりません。
また｛　｝の中のＯは開集合ですか、それとも単なる集合ですか
------------------------------------------------------------------

回答します。
O~ = {O ⊂ X | ∀y ∈ O, ∃V ∈ N (y) s.t. V ⊂ O}
（O~はOのドイツ語）
資料の(a)で 「O~はXの位相構造になる」とあり、(a)のところで既に証明されています。したがってO~の元はXの開集合になります。Mの内部M^oは開集合なのでM^o∈O~が成り立つわけです。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/18 19:53

集合をX=R=(全実数の集合)とする

x∈X
に対して
xを要素とするXのすべての部分集合の族を
N(x)={U⊂X|x∈U}
とすると

N(x)は4つの公理を満たす

1点x∈Xからなる集合{x}=Uに対して
x∈{x}⊂X

だから
U={x}∈N(x)

U={x}に含まれる集合でxを含むものはU={x}だけで
U={x}はRの通常位相では開ではないから

U={x}に含まれる(通常位相の)開集合Oでxを含むものは存在しません

No.6 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/07/17 03:26

下記の資料のp.20に証明がありますが、X の位相構造O~（ドイツ語のOをO~と表記。

以下同様）で、全ての点 x に対し N (x) が近傍系 N~(x) と一致するものがただ一つ存在します。
N (x)は位相空間（X,O~）から定義した近傍系N~(x)と同じになるため、V∈N(x)に対してO∈O~が存在して{x}⊂O⊂Vとできます。
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018-2019_Genera …

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/16 15:19

そのような定義は知らないのでパス。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D …

https://math.jp/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA …

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/15 19:55

近傍系の前に近傍系の定義が必要です。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/09 17:17

集合X

x∈X
に対して
xを要素とするXの任意の部分集合の族を
N(x)={U⊂X|x∈U}
とすると
N(x)は4つの公理を満たす

{N(x),x∈X}を近傍系とする位相は離散位相になる

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/09 12:49

>必ずあるのでしょうか。

<
●そうです。
点xの近傍Vとは、開集合Oが存在して
「{x}⊂O⊂V」
となることです。