偶数≠奇数の判定はどうやるのか？

数学において、X≠Yを示すには、集合の考えを用いるのだと思っていました。
例えばですが、X≔{x|x=2k}、Y≔{y|y=2k±1}とします。つまり、偶数と奇数の集合ですね。
ここで偶数≠奇数ということは、X∩Y=φ　φ；空集合　として表すことができるということなのだと考えていたのです。逆に言えば、偶数、奇数を{偶数}や{奇数}という集合の形で表すことができなければ偶数≠奇数とはできないことに形式的にはなってしまうということです。（勿論、実際には偶数と奇数の集合を定義することはできますが、ここでは、具体的な例えとして"仮に"として話を進めています）
しかし、実際の数学ではどうなのでしょうか？偶数と奇数が違うのは偶数や奇数の定義式2k、2k±1からも明らかだから、別に集合として表せるかどうかは関係ないし、他の事柄についても、集合の形で表したうえで違いを区別する必要は必ずしもないということなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 訂正：X≠Y⇒X∩Y=φともとられる表現がありました。正確にはX∩Y=φ⇒X≠Y　です。
  しかし、これは今回の疑問には影響しません。疑問は、数学的に厳密に定義された性質で表されるx,yが、しかし、{x},{y}の形で集合の要素にすることができず、x＝yやx≠yを積集合とか部分集合の方法を使っては表せなくとも、x＝yやx≠yを判定することが可能か？ということでした。
  疑問を提示してから、より詳しく調べてみると、可能ということらしいです。数学にはその性質をきちんと定義されているのに、集合の要素にできない数学的対象があり、それもかなりたくさん、無限と言っていいぐらいあるらしい。それでも、性質は定義されているから、異同を判定することは可能ということです。むしろ、集合の要素にすることで、集合論の方法を使って異同を判定できる場合のほうが少数派のようですね。ともかく、御回答有難うございました。

    補足日時：2024/05/27 20:51

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/27 09:51

後ろの方の議論はよくわからないが、

集合の「等しくない」(X≠Y)と「X∩Y=φ　φ；空集合」は
全く別の話だと思う。

>偶数と奇数が違うのは偶数や奇数の定義式2k、2k±1からも明らかだから
これは明確な集合の定義だから、結局任意の要素について一致しないことを使っていると思う。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/05/26 15:03

「偶数」と「奇数」は、数学的に 決まった定義がありますから、

整数の範囲で 集合の考えを使うことが出来ます。
（勿論 数学の世界では、偶数でも奇数でもない数は 存在します。）
しかし「大きい」と「小さい」では その都度基準を決めないと、
比べることが出来ません。
従って 特定の条件の下でない限り 集合の考えは 使えないでしょう。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/05/26 13:39

「集合として表せない」と言うのは結局「定義が存在しない」と言う事でしょうから、そう言った存在は「そもそも数学の対象ではない」と考えればいいのではと思います。

(無定義用語とされる数学用語についてはその性質上「定義されているもの」として扱って差し支えないと思います)

例えば「美人の集まり」と言うものを考えたとすると、ある女性が美人かどうかの判断は基本的には人それぞれであって「美人かどうか」をはっきり決定する事は原理的に不可能です。なので「美人の集まり」は「美人の集合」とは言えない、すなわち「美人と言う概念は数学の対象にはならない」となります。仮に(もちろん実際は違いますが)偶数や奇数と言う概念がここで取り上げた「美人」と同様であれば「偶数や奇数は数学の対象にはならない」と言う事になると思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/26 13:02

きちんと (適正に) 定義できているんだったら, 集合として表すことができるというのはほぼ自明なような気がするんだが.