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数学Aについて、4でも6でも割り切れないという日本語を、数式に表すことができませんでした。

200〜500までの自然数について、4でも6でも割り切れないものは何個か。
301-101=200 が答えです。
答えの導き方やドモルガンを使うこともよく分かりました。

しかし、解説には4でも6でもない= ¬4∩ ¬6(∩にバーはない)と表されています。
では、これに∩にバーがある時は、どんな日本語になるのでしょうか?

イメージでは、
4でも6でもない=∩にバーあり。つまり2つの円が重なり合うとこ以外でした。。。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • わかりにくくてすみません。添付写真のように考えない理由が分からなかったということです!

    「数学Aについて、4でも6でも割り切れない」の補足画像1
      補足日時:2024/04/22 12:04

A 回答 (7件)

No.2 です。



問題の「ベン図」を下記に書いてみました。

「200〜500までの自然数」が 301個(全体の四角)    ①
「4で割り切れるもの」「4の倍数」が 76個(赤い丸)
「6で割り切れるもの」「6の倍数」が 50個(青い丸)
このうちダブっているもの(「4でも6でも割り切れるもの」「4と6の倍数」つまり「12の倍数」)は 25個(赤い丸と青い丸の重なった部分)

ということで
「4か6のどちらかで割り切れるもの」=下の図でどちらかの円の中に入るもの
 (76 + 50) - 25 = 101 個    ②

「4でも6でも割り切れないもの」
全体① から②を引いて
 301 - 101 = 200個

で求めましたね。

最終的に求めたい「4でも6でも割り切れないもの」は、そのどちらの円にも含まれない外側です。「赤い丸の外」かつ「青い丸の外」ということです。
それが「 ¬4 ∩ ¬6」です。

それに対して、「4 ∩ 6」は、上に書いたように「4でも6で割り切れるもの」「4と6の倍数」「12の倍数」ということで「赤い丸と青い丸の重なったところ」です。
その「NOT」は、赤い丸の左半分、青い丸の右半分も含む、かなり広い範囲です。日本語でいえば「『4と6の倍数』ではないもの」つまり「12の倍数ではないもの」ということになります。

質問者さんがどの部分を言いたいのか分かりませんが、下図を見ながらじっくりと考えてみてください。
「数学Aについて、4でも6でも割り切れない」の回答画像3
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この回答へのお礼

助かりました。皆様ありがとうございました!

お礼日時:2024/04/28 15:54

4でも6でも割り切れない



4の倍数でも6の倍数でもない
「数学Aについて、4でも6でも割り切れない」の回答画像7
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[1] まずは、日本語の意味が読み取れるかどうか、という話だと思います。


 「日本語の言葉の形式そのものを、機械的に式に置き換えられる」と考えるとおかしなことになる。正しくやるには、まず言明の意味を読み取った上で、一旦言葉の方は忘れることにして、読み取った意味を式で表すんです。で、結果を読み下して、意味が正しく表せているかを確認するとなお結構。

 「4でも6でも割り切れないもの」は「4で割り切れないもの、かつ、6で割り切れないもの」という意味に解釈され、だから
  ¬(4で割り切れるもの) ∧ ¬(6で割り切れるもの)
と表せる。
 確認のために、この式を素直に日本語で読み下してみると
  「(4で割り切れるもの)ではない、かつ、(6で割り切れるもの)ではない」
となる。で、「(…るもの)ではない」を「…ないもの」と書き換えて
  「4で割り切れないもの、かつ、6で割り切れないもの」
となって、ちっともおかしくない。
 だけど、ここで自然言語の癖として、同じ言葉が繰り返されるのを端折って
  「(4かつ6)で割り切れないもの」
という、論理的にはナンセンスな位置に括弧がついたものを書きたがるんですよ。(なぜナンセンスかというと、(4かつ6)が何を表しているのか不明だから。)これをもうちょっと日本語らしく整形したのが
  「4でも6でも割り切れないもの」
に他ならない。
 つまり、「4でも6でも割り切れないもの」と言う表現自体が「(4かつ6)で割り切れないもの」というナンセンスを経由した、論理的に危なっかしい(場合によっては意味不明になる恐れがある)表現なんです。(実際、「4でも6でも」はこの部分単独では意味をなさないでしょ。)

 一方、
  ¬((4で割り切れるもの) ∧ (6で割り切れるもの))
の場合、素直に日本語で表してみると
  「「4で割り切れるもので、かつ、6で割り切切れるもの」ではない」
ということになる。もっと自然な日本語にすると
  「4でも6でも割り切れるようなもの以外」
と言っとこうか。

[2] このような、自然言語の癖(論理的にはどうでも良いこと)に煩わされないためにこそ、記号を使って式を書くんです。式になってしまえば、紛れがなく、機械的に扱えるようになる。
 だから「4で割り切れるもの」を"4"と書いたり、集合の演算∩と論理演算¬, ∧をごちゃ混ぜにするような、式として正しくないことをやってたんじゃ、式の有り難みが享受できない。

[3] じゃあ、きちんとやるとどうなるか。まず、述語「xはnで割り切れる」をD(x,n)と書くことにする。(と宣言するんです。で、)これを使って
「4で割り切れるもの」の集合は
   { x | D(x,4)}
「4で割り切れないもの」の集合は
   { x | ¬D(x,4)}
ここで、(肩付きの"c"が出せないんで、しょうがないから)"*" で補集合を表すことにしますと、
   { x | ¬D(x,4)} = { x | D(x,4)}*
ですね。さて、「4でも6でも割り切れないもの」とは「4で割り切れないもの、かつ、6で割り切れないもの」という意味なので、その集合は
   { x | ¬D(x,4) ∧ ¬D(x,6)}
であり、
   { x | ¬D(x,4) ∧ ¬D(x,6)}
    = { x | ¬D(x,4)} ∩ { x | ¬D(x,6)}
    = { x |D(x,4)}* ∩ { x | D(x,6)}*
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下は(4で割り切れかつ6でも割り切れる)の否定


だけど
4で割り切れかつ6でも割り切れる=12で割り切れる
だから、これの否定は
12で割り切れない。つまり1~11はOK、12はNG

上は4で割り切れずかつ6でも割り切れない。
つまり、1、2、3、5、7、9、10、11はOK、4、6、8、12はNG

全然違うでしょ。
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「4で割り切れる」ことを論理式上「4」と書くのは、どうなの?


...ってのは、話の本筋に関係ないか。

> では、これに∩にバーがある時は、

¬4∩¬6 の ∩ の上(だけ)にバーがあるって式は、ありえない気がするんだけど、
その質問は、¬4∩¬6 全体の上にバーがある式のことを言っているのか?
それとも、バーがつながって 4∩6 の全体の上にバーがある式のことなのか?

いずれにせよ、P∩Q の全体の上にバーがある式 ¬(P∩Q) は、
あなたが好きな ド・モルガン の法則に従って ¬P∪¬Q と同値になる。

日本語で書けば「PでないまたはQでない」かな。
あとは、P = ¬4, Q = ¬6 なのか P = 4, Q = 6 なのかによって
適当な日本語にすればいいだけじゃない?
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>しかし、解説には4でも6でもない= ¬4∩ ¬6(∩にバーはない)と表されています。



日本語の問題ですが、「4でも6でもない」は、
「4でもないし、6でもない」=「4でない AND 6でない」
ですから
「¬4∩ ¬6」
でよいですよね?

>これに∩にバーがある時は、どんな日本語になるのでしょうか?

意味がよく分かりませんが
「4∩6」の NOT
ということですか?
「4 AND 6」の NOT
ですから
「4でない OR 6でない」
でしょう。


>4でも6でも割り切れないという日本語を、数式に表すことができませんでした。

これは「4でも割り切れないし、6でも割り切れない」なので
「4で割り切れない AND 6で割り切れない」
でしょう。
これを、その否定形である「割り切れる」「倍数」を使うのであれば
「4で割り切れる OR 6で割り切れる」の NOT
「4の倍数 OR 6の倍数」の NOT
「4 または 6の倍数」の NOT
ということになります。
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¬4∩ ¬6=(4でない)且つ(6でない)



∩だけにバーが付くのであれば∪(または)
¬4∪ ¬6(4でない)又は(6でない)
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