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「mを実数とする。xy平面上の2直線
mx-y=0・・・・①、x+my-2m-2=0・・・・②
について、①、②の交点の軌跡を求めよ。」
という問題について

解説の中で、
「一般に、y=mx+n型直線は、y軸と平行な直線は表せません。それは、yの頭に文字がないので、yが必ず残って、x=kの形にできないからです。逆に、xの頭には文字mがついているので、m=0を代入すれば、y=nという形にでき、x軸に平行な直線を表すことができます。」
という記載があるのですが、
②の式はx=mx+n型直線になるので、x軸に平行な直線は表せないとして、除外点を検討しなくてもよいのはなぜなのでしょうか。

質問者からの補足コメント

  • 質問には記載していませんが、問題を解くと除外しなければいけない点がでてくるようです。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/02/19 08:51
  • なんとなく理解できました。
    自分の疑問は、問題を解く際に検討しなくても良いのですね。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/02/19 08:54
  • 除外する点はどうやって判断するのでしょうか。

      補足日時:2024/02/19 11:19

A 回答 (6件)

>②の式はx=mx+n型直線になるので、x軸に平行な直線は表せないとして、除外点を検討しなくてもよいのはなぜなのでしょうか。



検討したほうが良い。
検討した結果①の式がy軸であるとして計算した結果と同じになります。
この確認は絶対に必要です。

実は①で表せないという条件から除外される点と②では表せないという条件から除外される点は一致する理由があります。その理由を述べておけば①の条件からだけで示しても問題はありません。その理由がわからないのであれば両方とも検討しないといけません。

-----------------
参考のため、質問にある問題を少し変えた問題を考えてみましょう。

m,nを実数とする。xy平面上の2直線
mx-y=0・・・・①
x+ny-2n-2=0・・・・③
が30°の角度をなすようにm,nを変化させたときにその交点の軌跡を求めよ。
(要するに②のmをnに替え、2直線のなす角を30°としました)

この答えは二つの円弧をくっつけたものになります。これは①が(0,0)を必ず通り、③が(2,2)を必ず通るということと円周角の定理から簡単にわかります。
その円弧上の点で4点除外される点が出てきます。①で表せないy軸との交点が2点,③で表せないy=2上の点が2点あり、それらの点は一致しないため4点となります。

で、実は質問者の示している問題は上記の問題の30°を90°に替えたものと同じです。90°の条件を付けるとn=mになるのです。
で①で表せない線y軸と②で表せない線y=2は直交します。つまり、90°という条件を満たしますので、この条件で除外点は円周上で同じ点となります。
要するにたまたまn=mの場合は除外される二つの条件から得られる点が一致しているのです。
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この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時:2024/02/22 18:11

mx-y=0…①


x+my-2m-2=0
x+m(y-2)-2=0…②

①は原点を通る直線で、x=0以外
②は(2,2)を通る直線で、y=2以外

だから
除外しなければいけない点は
(x,y)=(0,2)

②の両辺に2-xを加えると
m(y-2)=2-x
↓両辺にxをかけると
mx(y-2)=(2-x)x
↓これに①mx=yを代入すると
y(y-2)=(2-x)x
y^2-2y=2x-x^2
↓両辺にx^2-2xを加えると
x^2-2x+y^2-2y=0
↓両辺に2を加えると

(x-1)^2+(y-1)^2=2

(x,y)=(0,2)を除く
中心(1,1)半径√2の円
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この回答へのお礼

解決しました

お礼日時:2024/02/22 18:11

②の式は


x=mx+n型直線ではなく
x=my+n型直線です
----------------------

mx-y=0…①
x+my-2m-2=0…②
↓両辺に2-xを加えると
m(y-2)=2-x
↓両辺にxをかけると
mx(y-2)=(2-x)x
↓これに①mx=yを代入すると
y(y-2)=(2-x)x
y^2-2y=2x-x^2
↓両辺にx^2-2xを加えると
x^2-2x+y^2-2y=0
↓両辺に2を加えると

(x-1)^2+(y-1)^2=2

中心(1,1)半径√2の円
除外しなければいけない点はどこ?
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問いは①と②の交点であって、


①と②で表せない点を考慮する必要はないです。
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方程式や関数の世界においてxとyは同列ではない。


xが「未知なる数」yが「xの次の数」という名前の由来から分かるように、あくまでxが主役である。

関数とは「函(はこ)の中に任意の数(x)を放り込むとどんな数が函から放り出されてくるか」ということであり、だから函数とも書かれる。

x軸に平行とはつまり「その関数(?)に含まれるxは、実数の範囲では存在しない」ということである。
こういうのを関数とはいわない。
この回答への補足あり
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タイトルの「x軸と平行な直線を検討しない」ってどういうこと?



「②の式はx=mx+n型直線になる」とはどういう意味?

「除外点を検討しなくてもよいのはなぜなのでしょうか」とは何を問うている? そもそもこの質問文の中に「除外点」なるものはどこにも出てこないのだが?
この回答への補足あり
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