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数3の複素数のことです。
αとβという複素数があり、|α|=|β|=|α−β|=1であるとき、2β−αおよびβ/αって図形的にいうとどのようなことを表しているか教えて欲しいです。

A 回答 (7件)

|α|=|β|=|α-β|=1


α,βの共役複素数をα~,β~とする
αα~=|α|^2=1
α~=1/α
ββ~=|β|^2=1
β~=1/β

1
=|α-β|^2
=(α-β)(α~-β~)
=(α-β)(1/α-1/β)
=1-α/β-β/α+1
=2-α/β-β/α

1=2-α/β-β/α
↓両辺にβ/α+α/β-1を加えると
β/α+α/β=1

z=β/αとすると

z+1/z=1
z^2+1=z
z^2-z+1=0
(z-1/2)^2=-3/4
z-1/2=±i√3/2
z=(1±i√3)/2

β/α=(1±i√3)/2
「数3の複素数のことです。 αとβという複」の回答画像7
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No.3 です。



最後の方で三角関数の値を間違っていましたね。

(誤)
 β/α = cos[(θ ± 60°) - θ] + i・sin[(θ ± 60°) - θ]
   = cos(±60°) + i・sin(±60°)
   = (√3)/2 ± (1/2)i



(正)
 β/α = cos[(θ ± 60°) - θ] + i・sin[(θ ± 60°) - θ]
   = cos(±60°) + i・sin(±60°)
   = 1/2 ± [√3)/2]i

ですね。
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|α|=|β|=|α-β|=1


α,βの共役複素数をα~,β~とする
|α|=1
だから
α=e^{ia}となる実数aがある
α~=e^{-ia}=1/α
|β|=1
だから
β=e^{ib}となる実数bがある
β~=e^{-ib}=1/β

1
=|α-β|^2
=(α-β)(α~-β~)
=(α-β)(1/α-1/β)
=1-α/β-β/α+1
=2-α/β-β/α

1=2-α/β-β/α

β/α+α/β=1

z=β/αとすると

z+1/z=1
z^2+1=z
z^2-z+1=0
(z-1/2)^2=-3/4
z-1/2=±i√3/2
z=(1±i√3)/2

β/α=(1±i√3)/2
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「原点とα、βが一辺の長さが1の正三角形の頂点になっている」


ということに気づけば、いろいろわかるよ。

例えばβ/α は「偏角が±60度で大きさが1の複素数」
ということは複素数の性質の基礎を知っていれば瞬時にわかる。

後は自分で考えてみよう。
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「ベクトル」は習いましたよね?



複素数を複素平面で考えるには、実数をxに、虚数をyにして「x-y平面のベクトル」として考えると分かりやすいです。

|α| = |β| = 1 ということは、α, β は原点を中心とした半径1の円周上にあるということです。

α - β は「β の先端から α の先端に向かうベクトル」になるので、
 |α - β| = 1
ということは、原点と α, β は1辺の長さが 1 の正三角形を形成します。
(相対的な位置関係だけで、絶対位置は決まりません)

従って、ベクトルの考え方から「2β - α」は、
「α の先端から β の2倍の先端に向かうベクトル」
ということが分かります。
(複素数としては、その「α の先端から」の部分を原点に平行移動しないといけません)

「β/α」は
 |β/α| = |β|/|α| = 1
であり、
 α = cosθ + i・sinθ
と書けば、正三角形なので
 β = cos(θ ± 60°) + i・sin(θ ± 60°)
となることから
 β/α = cos[(θ ± 60°) - θ] + i・sin[(θ ± 60°) - θ]
   = cos(±60°) + i・sin(±60°)
   = (√3)/2 ± (1/2)i
図形的には、原点、実軸の 1 と「正三角形」をなすもう1つの角(虚数のプラス側とマイナス側の2つ)ということになります。
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> 図形的に


とは、複素平面で、という話でしょうね。すると
> |α|=|β|=|α−β|=1
とは、α, β, 0が一辺1の正三角形になっているということなので、βはαを0のまわりに60度または-60度回転したもの。だから、
  γ = e^(iπ/3)=(1 + (√3)i)/2 または γ = e^(-iπ/3)=(1 - (√3)i)/2
とすれば、
  β = αγ
です。従って
  β/α = γ
である。そして、
  2β−α = (2γ - 1)α = i(√3)α または 2β−α = (-i)(√3)α
なので、2β−αは(√3)α を0のまわりに90度または-90度回転したもの。
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複素数平面において、


2β-αは大きさ√3で原点とαを結ぶ直線に直交するベクトルが想起されます。
β/αは±π/3の偏位角を持つ大きさ1のベクトルが
想起されます。
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