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数学I

アホらしい質問なのでそんなこと考えることは無駄などの解答は受け付けておりません。
また自分的には言葉にするのが難しい事なので伝わらないかもしれません。
それでもいいという方は優しく教えて下さるとありがたいです。

例えばx^2-4x+3<0という2次不等式を解け、という問題を考える時(x-1)(x-3)<0と因数分解して1<x<3とすぐに分かると思います。

x^2+4x+4>0という問題だったら
(x-2)^2>0というふうに因数分解すると思うのですが
ここからx<2 2<xと答えが出るのがモヤモヤしてしまいました。


確かに最初の問題も2つ目の問題もグラフで考えたらすぐに分かると自分でも分かっているのですが、
なんか(x-2)^2>0からx<2と2<xという答えが出てくるのが気持ち悪く感じてしまいます。

途中式とかで綺麗に表せればなーとか思ってたんですが、
(x-2)^2>0がそもそも因数分解をやりきった後だし...
とか考えちゃいます。

誰かこういうの分かる人いますかね?w
またこういうのはこういうもんだと考えるしかないんですかね?

なんか変な質問ですいません。
最後まで読んでくれたかた、こんな馬鹿らしいことに付き合ってくれてありがとうございました。
共感者、(x-2)^2>0の答えの腑に落ちる考えをお持ちの方、解答お待ちしております。

A 回答 (10件)

・・・等式はともかく本題・・・



 x=2でゼロになります
 2よりも小さい数、
 2よりも大きい数、
 で0より大きくなります。

ということです。
ですので等式を考えると
 x≠2
で良いでしょうね。

グラフをイメージできるなら、普通に理解できそうなものですが……。
「数学I アホらしい質問なのでそんなこと考」の回答画像2
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この回答へのお礼

回答者の皆様、こんな馬鹿らしい質問にありがとうございました。
私は深く考えすぎていたのかもしれません。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2024/03/21 17:03

x-2=X(ラージエックス)とおくと(x-2)²>0は


X²>0
となる
意味は、Xを二乗したときに(0でなくて)プラスの値になるということ
ところで、実数を二乗するとマイナスになる事はなく、0かプラスの値になる
0を二乗すると0
0以外を二乗するとプラスの値なので
X²>0を満たすものは
X=0以外となる
これを、別表現にすると
X<0または0<X

Xを元に戻すと
(x-2)²>0↔x-2<0または0<x-2↔x<2または2<x

これを踏まえて置き換えをしないことにすると
(x-2)²は0かプラスの値になる

0となるのはx-2=0のときだけ
x-2=0以外では(x-2)²はプラスの値になるのだから
(x-2)²>0をみたすのはx-2=0以外のとき↔x=2以外のとき
乃ち
x<2または2<x
と言うのがわがるかと思います
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不等式 AB>0 の解は、(A>0 かつ B>0)または(A<0 かつ B<0) です。


CD<0 の解は、(C>0 かつ D<0)または(C<0 かつ D>0) です。
No.7 の言うとおりですね。

ここで、C=x-1, D=x-3 としてみると、
(x-1)(x-3)<0 は (x-1>0 かつ x-3<0)または(x-1<0 かつ x-3>0) です.
(x-1>0 かつ x-3<0) は 1<x<3 とも書けます。
(x-1<0 かつ x-3>0) のほうは、3<x<1 なので、そのような x はありません。
そこで、(x-1)(x-3)<0 の解は 1<x<3 と判ります。

A=x-2, B=x-2 の場合も同じです。上記にあてはめると、
(x-2)(x-2)>0 は (x-2>0 かつ x-2>0)または(x-2<0 かつ x-2<0) となります。
これって、x>2 または x<2 ってことですよね?
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(x-2)^2 =|x-2|^2 なので


この値域は y >=0 より
x=2 のとき y=0 だから 
(x-2)^2>0 の定義域は x=2 を除く全ての実数で
x<2と2<xという答えになると思いますが!
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正×正=正


負×正=負
正×負=負
負×負=正
これを理解して無いんでしょ?
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質問者様御自身の解答を見る限り、そもそも不等式の解き方自体を理解しておられないとしか思えませんでした。

つまり解き方を理解せずに因数分解がどうのこうのと言った「解くための手順」を覚えているだけではないのかと思った次第です。そもそもモヤモヤされている

x<2 2<x

と言う書き方からして不明瞭です。両者の関係が「かつ」なのか、それとも「または」なのか全く気にしておられない(ようにしか見えない)ので。

まず「例えば」で挙げられた不等式を変形してできる

(x-1)(x-3)<0

についてですが、かけて負になるのは一方が正、かつもう一方が負の場合だけです。つまりこの不等式の場合なら

x-1<0 かつ x-3>0

または

x-1>0 かつ x-3<0

なので式を整理すると

x<1 かつ x>3…①

または

x>1 かつ x<3…②

①の条件を満たすxは存在せず②の条件を満たすものだけなので、②の式をまとめて

1<x<3

となって「例えば」の不等式が解けました。問題になっている不等式も考え方は全く同じです。まず不等式の左辺を因数分解すると質問文に書いておられるように

(x-2)^2>0

二乗して正になるのは元の数が正の場合かあるいは負の場合だけ(0の場合は不可)なので

x-2>0 またはx-2<0

なので整理すると

x>2 または x<2

これで解けました。要は「2でなければいい」と言う事なのでモヤモヤする必要はどこにもありません。あるいは

x≠2

と言う書き方をする事もできるでしょう。
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1<x<3


とか
  x<2と2<x
という書き方は一体何を意味するツモリなのか、ということを、一度深くお考えになればよろしかろうと思います。

[1] 意外に思われるかもしれないけれども、
  1<x<3
というのは実は正式の書き方ではなく、
  1<x かつ x<3
を略記しているだけです。「かつ」を論理記号「∧」で書いて
  1<x ∧ x<3
とすると、なんか本格的っぽいですね。

[2] 一方、
  x<2と2<x
ってのは略記ですらありません。「と」が何のつもりなのか分からないからで、数学としては落第です。
 ご質問の例題に照らせば、これは
  x<2 または 2<x
でなくてはならず、この「または」を論理記号「∨」で書いて
  x<2 ∨ 2<x
としても良い。

[3] ところで
  x<2
というのは
  (x≧2)ではない
と同じことで、「…ではない」を表す論理記号「¬」を使うと
  ¬(x≧2)
と書ける。だから
  x<2 ∨ 2<x

  (¬(x≧2)) ∨ (¬(2≧x))
は同じことです。

[4] さらに、「∧」や「∨」と、「¬」との間には
  (¬P) ∧ (¬Q) は ¬(P ∨ Q) と同じこと。
  (¬P) ∨ (¬Q) は ¬(P ∧ Q) と同じこと。
という関係がありますので、
  (¬(x≧2)) ∨ (¬(2≧x))

  ¬(x≧2 ∧ 2≧x)
は同じことです。

[5] このカッコの中に出てきた
  x≧2 ∧ 2≧x
というのは、「xは2以上で、かつ、2はx以上」なのだから、要するに
  x=2
ということです。だから、
  ¬(x≧2 ∧ 2≧x)
とは
  ¬(x=2)
と同じ。そして、これを
  x≠2
と略記するんです。

[6] というわけで、
  x<2 または 2<x

  x≠2
は同じことを表している。

[7]かくて、
   x<2と2<x
だなんて書いていたんでは、「と」が何のことなのか(「∧」なのか「∨」なのか)が不明確なので、その先に進めない。だから「数学としては落第」ということになるわけ。
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x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2



ですから、すべての x に対して
 (x - 2)^2 ≧ 0
ということになります。
等号成立は
 x = 2
のときです。

これを分解して考えれば
 x = 2 のとき (x - 2)^2 = 0    ①
 x ≠ 2 のすべての x に対して (x - 2)^2 > 0   ②
ということです。
それを、②だけ取り出して
 x<2, 2<x
と書いているのだと思います。

ただ、それだけの「書き方」の問題だけではないでしょうか。
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共感は出来ないのですが



x≠2 なら (0以外)^2>0
よって答は x≠2
x≠2と(x<2又はx>2)は同等。
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分かる。



自分はそれを踏まえて
 x=2
と回答することもある。
てか、それが正解なんじゃないかな。

 2<x<2
って事なんだから、xは2以外にはないわけです。
不等式で答える必要があるなら、
 2<x<2
でもいいのでしょうが、不自然でしょ。
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