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【高1 数学Ⅰ 二次関数】
二次関数 f(x)=x^2-4ax+8a がある。ただし、aは正の定数とする。

0 ≦ x ≦ 4 における f(x) の最大値をM、最小値をmとする。
このとき、 M - m = 12を満たすようなaの値を求めよ。

という問題で、解答解説を読んだところ
「0 <a <1 のとき~」「1 ≦ a ≦ 2 のとき~」
「2 <a のとき~」と場合分けされています。

疑問に思ったのが 1 ≦ a ≦ 2 のときで
元々は 2≦2a≦4 なのですが、
2<2a<4と考えてしまいます
それは 左側の2≦2a は 2<2a と2=2a ですよね?
2=2aとなると最大値と最小値は変わってくるのではないのですか?

もちろん定義域を≦などを使って繋げなければいけないことはわかっています!
変な質問ですがお願いします!

A 回答 (3件)

場合分けの境界をどっちの場合にくっ付けたらいいか判らないときは、


両方から分離してしまいなさい。今回の例で言えば、
「0<a<1 のとき」「a=1 のとき」「1<a<2 のとき」「a=2 のとき」「2<a のとき」
と場合分けするのです。 無駄な手間は多いけれど、間違いは生じません。
まずは正しく解けるようになるのが第一。 面倒を避けてオシャレにこなす
ことを目指すのは、迂遠な方法でもいいから正解してからで遅くないです。
場数をこなして、正解できるようになれば、
「a=なんとか」の場合をどうしたらよいかは自然と見えてきます。
最初から方法をマニュアル式に覚えようとしてはいけない。
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f(x)


=x^2-4ax+8a
=(x-2a)^2-4a^2+8a

0<a<1の時
0<2a<2
最大値はM=f(4)=16-8a
最小値はm=f(2a)=8a-4a^2

a=1の時
2a=2
最大値はM=f(0)=8a=f(4)=16-8a=8
最小値はm=f(2a)=8a-4a^2=4

1<a<2の時
2<2a<4
最大値はM=f(0)=8a
最小値はm=f(2a)=8a-4a^2

a=2の時
2a=4
最大値はM=f(0)=8a=16
最小値はm=f(4)=16-8a=f(2a)=8a-4a^2=0

2<aの時
4<2a
最大値はM=f(0)=8a
最小値はm=f(4)=16-8a
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「境界線はどちらにも含まれる」と考えてよいです。



単に「場合分け」するときに「抜けなく、重複なく」と分けているだけです。
最大・最小を考えるときには、「境界線は両方にまたがる」と考えればよいです。
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