aを正の定数とし、f(x)=x²+2(a-3)x-a²+3a+5とする。 二次関数 y=f(x)のグ

aを正の定数とし、f(x)=x²+2(a-3)x-a²+3a+5とする。
二次関数 y=f(x)のグラフの頂点のx座標をpとすると、p=ア-aである。
1≦x≦5における関数 y=f(x)の最小値がf(1)となるようなaの値の範囲は a≧イ である。
また、1≦x≦5における関数 y=f(x)の最小値がf(p)となるようなaの値の範囲は 0<a≦ウ である。
したがって、1≦x≦5における関数 y=f(x)の最小値が0であるのは a=エ または
a=オ/カ のときである。


まだよく分かってないので、数学が本当に苦手な私でも理解できるように説明していただけませんか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/09/14 00:40

ちょっと長いですが、じっくり考えながら読んでみてください。

二次関数のグラフの概形を調べたり、「頂点」の位置を確認するには、「平方完成」ということを行ないます。
x の一次項をなくして、x を「二次項」の中に閉じ込めて表わすように変形します。

問題の場合には
　f(x) = x^2 + 2(a - 3)x - a^2 + 3a + 5
　　　= x^2 + 2(a - 3)x + [(a - 3)^2 - (a - 3)^2] - a^2 + 3a + 5
　　　= [x^2 + 2(a - 3)x + (a - 3)^2] - (a - 3)^2 - a^2 + 3a + 5
　　　= [x + (a - 3)]^2 - (a^2 - 6a + 9) - a^2 + 3a + 5
　　　= [x + (a - 3)]^2 - 2a^2 + 9a - 4　　　　①

この、x を [x + (a - 3)]^2 のかなに閉じ込めたのが「平方完成」です。

これより
　y = f(x)
のグラフは、下記であることが分かります。
・下に凸の放物線（x^2 の係数が「正」なので）
・頂点は (-a + 3, -2a^2 + 9a - 4)
　（注）①の式は [x + (a - 3)]^2 ≧ 0 であり、最小になるのが
　　　[x + (a - 3)]^2 = 0
　　のとき、つまり
　　　x = -(a - 3)
　　のときで、このときが「頂点」になります。
　　[x + (a - 3)]^2 = 0 のとき①は
　　　y = -2a^2 + 9a - 4
　　で、これが頂点の y 座標になります。
・軸は x = -a + 3


ということで、x の定義域「1≦x≦5」では、最小は下記のようになります。

(a) 軸の位置が「1≦x≦5」の範囲に入れば「頂点」つまり x = -a + 3で最小。

(b) 軸の位置が「1≦x≦5」の左側にあれば、「1≦x≦5」の範囲で y = f(x) は単調増加なので、x=1 で最小。

(c) 軸の位置が「1≦x≦5」の右側にあれば、「1≦x≦5」の範囲で y = f(x) は単調減少なので、x=5 で最小。


問題では問われていませんが、「最大」については x=1 か x=5 のときであり、どちらが最大になるかは、軸が「1≦x≦5」の範囲の真ん中、つまり x=3 より右になるか左にあるかで決まります。


以上のことから「ア」は
　p = -a + 3
から「ア = 3」。

最小に関しては

(a) 軸の位置が「1≦x≦5」の範囲に入れば「頂点」つまり x = -a + 3 = p で最小。
　つまり「最小値がf(p)となる」場合なので、これが「ウ」になります。
　このときには
　　1 ≦ -a + 3 ≦ 5
より
　　-2 ≦ a ≦ 2
a は「正の定数」なので
　0 < a ≦ 2　　　　　　　←これが「ウ」

(b) 軸の位置が「1≦x≦5」の左側にあれば、「1≦x≦5」の範囲で y = f(x) は単調増加なので、x=1 で最小。
　つまり「最小値がf(1)となる」場合なので、これが「イ」になります。
　このときには
　　-a + 3 ≦ 1
より
　　2 ≦ a 　　　　　　　←これが「イ」

(c) 軸の位置が「1≦x≦5」の右側にあれば、「1≦x≦5」の範囲で y = f(x) は単調減少なので、x=5 で最小。
　このときには「最小値がf(5)となる」場合なので、これは問題にはありません。
（注）このときには
　　5 ≦ -a + 3 → a≦-2
なので、「a は正の定数」という条件では起こりえません。


「エ～カ」は上の結果から、

(a) の場合の最小値は
　f(p) = -2a^2 + 9a - 4
なので、これが「0」になるのは
　-2a^2 + 9a - 4 = 0
→　2a^2 - 9a + 4 = 0
より
　(2a - 1)(a - 4) = 0
この場合には「ウ」のように 0<a≦2 という条件なので
→　a=1/2

(b) の場合の最小値は
　f(1) = 1 + 2(a - 3) - a^2 + 3a + 5
　　　 = -a^2 + 5a
なので、これが「0」になるのは
　-a^2 + 5a = 0
→　a(a - 5) = 0
この場合には「イ」のように 2≦a という条件なので
→　a=5

よって
　エ：5
　オ/カ：1/2

この回答へのお礼

わかりやすいです、理解しました！
ありがとうございます！！

お礼日時：2021/09/14 19:32