連続であることを示すときの最後のεについて

関数f(x)がx=aで連続、の定義は、
　任意の正数ε(>0)に対して、ある正数δ(>0)が存在して、|x-a|<δ ⇒　|f(x)-f(a)|<ε
ですが、最後のεは、びしっとεであるべきでしょうか？

例えば、簡単な例ですが、「f(x)=3x が、x=1で連続であること」を示すのに、
任意の正数ε(>0)に対して、δ=ε>0にとると、|x-1|<δ=ε ⇒ |f(x)-f(3)|=|3x-3|=3|x-1|<3ε
でよしとするのか、それともδ=ε/3にとって |x-1|<δ=ε/3 ⇒ |f(x)-f(3)|=|3x-3|=3|x-1|<ε
とすべきか・・・。

どうでもいい気はしますが、ご意見お願いします。
院試験で、もちろんこんなしょうもない問題は出ないと思いますが、前者は減点・・・とかないですよね。

No.6 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2023/04/15 08:02

εで抑えるべきですね。

3εで抑えるならそれで良いことを一言説明する必要がありますが、そうするより初めからεで抑える方が簡単です。

この回答へのお礼

ですね。

お礼日時：2023/04/15 11:55

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/15 04:46

f(x)=3x

のとき

任意のε>0に対して
δ=ε/3
とすると
|x-1|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(1)|=|3x-3|=3|x-1|<3δ<ε

だから
f(x)=3xはx=1で連続である
とすべき

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/15 00:53

実際のところ採点基準しだいだし論理としてはどっちでもいいんだけど....

ただ, 個人的にはやはり ε でうえからおさえるような式を見せるべきだと思うよ. 定義が「|f(x)-f(a)|<ε」と「うえから ε でおさえる」ようになっているわけだから. 最悪, 理解に疑問をもたれても文句はいいにくい.

この回答へのお礼

ですね。

お礼日時：2023/04/15 11:54

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/15 00:27

任意ってなんて、都合の良い言葉。

なお、減点は虫の居所、趣味に依存すると想像。

この回答へのお礼

ですね。

お礼日時：2023/04/15 11:54

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2023/04/14 23:39

そもそもε自体が(条件の範囲内において)任意の数ですからεでもε/3でも同じ事です。

この回答へのお礼

ですよね。

お礼日時：2023/04/15 00:19

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/14 23:26

その必要はありません。

もし、a>0 として
∀ε>0 → ・・・・　|f(x)-f(a)|<aε・・・・・①
となったら

始めのεは任意だから　ε/a として議論を進めてもよい
∀ε>0 → ε/a → ・・・・　|f(x)-f(a)|<a(ε/a)=ε・・・・②
となります。

①で終わらせているものもありますが、②がクールです。

この回答へのお礼

ですよね。

お礼日時：2023/04/15 00:19