
関数f(x)がx=aで連続、の定義は、
任意の正数ε(>0)に対して、ある正数δ(>0)が存在して、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε
ですが、最後のεは、びしっとεであるべきでしょうか?
例えば、簡単な例ですが、「f(x)=3x が、x=1で連続であること」を示すのに、
任意の正数ε(>0)に対して、δ=ε>0にとると、|x-1|<δ=ε ⇒ |f(x)-f(3)|=|3x-3|=3|x-1|<3ε
でよしとするのか、それともδ=ε/3にとって |x-1|<δ=ε/3 ⇒ |f(x)-f(3)|=|3x-3|=3|x-1|<ε
とすべきか・・・。
どうでもいい気はしますが、ご意見お願いします。
院試験で、もちろんこんなしょうもない問題は出ないと思いますが、前者は減点・・・とかないですよね。
No.5
- 回答日時:
f(x)=3x
のとき
任意のε>0に対して
δ=ε/3
とすると
|x-1|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(1)|=|3x-3|=3|x-1|<3δ<ε
だから
f(x)=3xはx=1で連続である
とすべき
No.4
- 回答日時:
実際のところ採点基準しだいだし論理としてはどっちでもいいんだけど....
ただ, 個人的にはやはり ε でうえからおさえるような式を見せるべきだと思うよ. 定義が「|f(x)-f(a)|<ε」と「うえから ε でおさえる」ようになっているわけだから. 最悪, 理解に疑問をもたれても文句はいいにくい.
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