教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

閲覧ありがとうございます
fはR上の連続関数とする、この時関数方程式

f(x)=f(2x)

を解け。

この問題が分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。お待ちしています。

gooドクター

A 回答 (4件)

f(x) が微分可なら、


f'(x) = [f(2x) ]' = 2f'(x) → f'(x) = 0 → f(x) = 定数

f(x) が微分不可なら?
ワカラン。

  
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任意の実数 x をひとつとり固定します.次で定義される点列 y[n] を考えます.


y[n] = x/2^n ( n は非負整数)
このとき f(0) = f(x) が成り立つことが次のように示せます.
f(0)
= f(lim y[n]) (n → ∞)
= lim f(y[n]) (∵ 連続性)
= lim f(y[0]) (∵ 関数方程式)
= f(x)
したがって連続関数 f は原点の値のみで決まり,定数関数にならざるを得ません.

逆に定数関数が関数方程式を満たすのは明らかです.

以上から解は定数関数に限ります.
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 R上で連続を厳密に守ります。

そして以下は、予想です。

 例えば最初に、閉区間[0,1]上でfを考えます。f(1)=bだったとします。

 fの定義より、f(1/2)=f(1)=bです。
 fの定義より、f(1/4)=f(1/2)=f(1)=bです。
 fの定義より、f(1/8)=f(1/4)=f(1/2)=f(1)=bです。
 fの定義より、f(1/16)=f(1/8)=f(1/4)=f(1/2)=f(1)=bです。
     ・
     ・
     ・

 従って、任意のn≧0で、

  f(1/2^(n+1))=f(1/2^n)=b

が成り立ちます。fはR上で連続でした。従って閉区間[1/2^(n+1),1/2^n]では一様連続です。よって一様連続関数の性質より、閉区間[1/2^(n+1),1/2^n]の長さが0の極限でfは、定数関数bに収束します。

 すなわち十分大きなnに対しては、[1/2^(n+1),1/2^n]上で、f(x)=bです。

 また点列{1/2^(n+1)}は明らかに0に収束します。よって一様連続関数である事からx→0のとき、lim f(x)=f(0)=bが得られます。なので十分大きなnに対して、

 [0,1/2^n]上で、f(x)=b

と言っても良いような結果が得られると予想します。ここでnは任意なので、

 [0,1]上で、f(x)=b

です。従って任意の0≦xに対してf(x)=b。x<0についても同じ議論ができるので、R上でf(x)=bです。


 もちろんx=0で連続でなくても良いなどの条件があれば、#1さんのような関数もあり得るのだと思います。ただしそれは、一意には定まらず、一定の曲線パターンが、x=0に向かって無限に折り畳まれていくようなイメージになると思えます。


 しかし、f(x)=sin(loga(x)) (a^(2π)=2)なんて、どうやったら思いつけるんだろう。自分には無理だ(^^;)。
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f(x)=C が解のひとつでであることは確か(^^;



x>0で連続でよいなら

f(x)=sin(loga(x)) (a^(2π)=2)

かな。
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