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f(x)=x√(2x-x^2)が与えられている問題です。お手上げ状態なので、途中式付きの解答をお願いします。

「f(x)=x√(2x-x^2)が与えられ」の質問画像
gooドクター

A 回答 (5件)

(1)は、単なる3次関数の問題だよ。



根号内≧0より、0≦x≦2であるから、f(x)=√(2x^3-x^4)‥‥(1)。
あとは、0≦x≦2の範囲で、2x^3-x^4の最大値と、最小値を求めると良い。

0≦xであるから、f(x)=x√(2x-x^2) → f(x)=√(2x^3-x^4)に変形できる事に注意。
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#3です。


A#3の(3)のヒントにつまらないミスがありましたので訂正します。

>(3)V=2π∫[0,2] (f(x))^2 dx =2π∫[0,2] (2x^3-x^4) dx
積分の前の係数の「2π」は「π」です。
正しい式は次の通り。
(3)V=π∫[0,2] (f(x))^2 dx =2π∫[0,2] (2x^3-x^4) dx
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ここのルールでは、自力解答を書いて、行き詰った箇所について質問することになっています。

補足にあなたがやった解答を書いて、その解答のなかで行き詰っていることについて質問して下さい。

ヒント)
(1)xの定義域は0<=x<=2
定義域からx>=0なのでf(x)>=0
したがって最小値は0でこのときのxはx=0と2であることは明らか。
定義域の範囲で増減表を作って最大値を求めるだけ。

(2)S=∫[0,2] f(x)dx= ∫[0,2] x√(2x-x^2)dx
を計算するだけ。

(3)V=2π∫[0,2] (f(x))^2 dx =2π∫[0,2] (2x^3-x^4) dx
を計算するだけ。
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もう、ン十年もこんなのやってないけど… (忘れた)


答えを書くのは禁止だからヒントだけ。(どのみち忘れてて、求められない)

え~っと。 微積を利用してもいいんですよね?

(0)まずxが取れる値の範囲を確認しておきましょう。
 って書いてから、よく見たら問題文に書いてあったので不要
 
(1)微分してみればf(x)の変化率が求められるので、その値が0になる
 ところを求めると、f(x)の極大、極小を与えるxが分かる。
 
 関数のイメージがわかないときは、最初に適当な刻みでf(x)を算出して、
 折れ線グラフ的に書いてみると全体像がつかめると思う。
 (例:0.25刻みだと9点計算すればよい←細かいほど正確)

(2)0~2の範囲で積分してあげれば囲われた面積が求まるはず
  (x=0、x=2でf(x)=0)

(3)あれっ。 どうするんだっけ?
 x軸上の幅dx、高さf(x)の四角形を回転してできる円盤の面積を
 求める式を作成して、(2)同様に積分してあげればいいのでは?
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とりあえず普通にやるなら



f(x)=x√(2x-x^2)
を微分してf’(x)を求めて増減表を書き、それに基づいてグラフを書いてみればわかるかと

あとはご自分で解いてみてわからなくなったらまた補足に
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