正則関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (z=x+yi)の虚部が、 v(x,y)=-2xy+

正則関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (z=x+yi)の虚部が、
v(x,y)=-2xy+2xで与えられ、f(i)=0を満たすとする。
このとき、実部u(x,y)を求め、f(z)をzの関数として表せという問題が分からないので教えて欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/01 14:26

f(z) が正則関数だということは、

コーシー・リーマンの条件
∂u(x,y)/∂x = ∂v(x,y)/∂y,
∂u(x,y)/∂y = - ∂v(x,y)/∂x.
が成り立つ。これに
所与の v(x,y) = -2xy+2x を代入すると、
∂u(x,y)/∂x = -2x,
∂u(x,y)/∂y = 2y-2.
これを積分すれば
u(x,y) = -x^2 + G(y),　Gは正則関数,
u(x,y) = y^2-2y + H(x),　Hは正則関数.
となるが、これを満たすような G,H は
u(x,y) = -x^2+y^2-2y + C,　Cは定数.
だけである。
f(i) = 0 より u(0,1) = 0 なので、
x = 0, y = 1 を代入すると C = 1.
以上より、
u(x,y) = -x^2+y^2-2y+1.
f(z) = (-x^2+y^2-2y+1)+i(-2xy+2x)　　
= -z^2+2iz+1.　

u(x,y) を求めるまでは型どおりの簡単な計算だが、
ラスト一行の変形はちょっとだけ根性が要る。