線形代数の正方行列の三角化について

　現在、大学で線形代数学を学んでいるのですが、対角化の仕方は分かるのですが、三角化の仕方がさっぱり分かりません。
　例えば、

行列Ａ =
8 -9
4 -4

について、固有値を求めると、2になりますよね。
この場合は、2に対する固有ベクトルをp_1とすると、

p_1=
3
2

のみなので、対角化はできずに三角化をするしかありませんよね。

→ここからが分からない部分です。

　このとき、(A-2E)p_2=p_1を満たすp_2を求めると、

p_2=
-1
-1

となり、Ap_1=2p_1,Ap_2=p_1+2p_2であるから、
Ｐ＝(p_1,p_2)とすると、

Pの逆行列×AP=
2 1
0 2

となるそうなのですが、どうしてその仕組みで三角化が
できるか分かりません。
　分かる方がいましたら、解説していただけないでしょうか？宜しくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2004/02/02 03:34

2x2行列をAとし,非零2次元列ベクトルをp,qとしαを複素数としJ=

[α　1]
[0　α]
としたとき
A・p=α・pかつA・q-α・q=p⇔
A・p=α・pかつA・q=α・q+p⇔
(A・p,A・q)=(α・p,p+α・q)⇔
(A・p,A・q)=(p,q)・J⇔
A・(p,q)=(p,q)・J⇔
J=(p,q)^(-1)・A・(p,q)

(A-α・E)・q=pかつ(A-α・E)・p=0かつp≠0だからpとqは独立であることに注意

この回答へのお礼

この掲示板と線形代数のテキストを何度も見たところ、理解できました。
どうも、ありがとうございます

お礼日時：2004/02/05 17:24

No.1 回答者： keyguy 回答日時： 2004/02/02 02:28

2x2行列をAとし,非零2次元列ベクトルをp,qとしα,βを複素数としJ=

[α　1]
[0　α]
としたとき
A・p=α・pかつA・q-α・q=p⇔
A・p=α・pかつA・q=α・q+p⇔
(A・p,A・q)=(α・p,p+α・q)⇔
(A・p,A・q)=(p,q)・J⇔
A・(p,q)=(p,q)・J⇔
J=(p,q)^(-1)・A・(p,q)

(A-α・E)・q=pかつp≠0だからpとqは独立であることに注意