3次の正方行列Cが3次の対称行列Bによって対角化可能であるとする。ただし、B,Cの各成分は実数とする

3次の正方行列Cが3次の対称行列Bによって対角化可能であるとする。ただし、B,Cの各成分は実数とする。このとき、Cは対称行列であることを示せ。

この問題がわかりません。
よろしくお願い致します。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/08 10:29

A = (B^-1)CB, A は対角行列, B^T = B ですね。

B は実対称行列なので、直交行列によって対角化できて、
D = (P^-1)BP, D は対角行列, P^-1 = P^T です。

C = BA(B^-1) = PD(P^-1)A(PD(P^-1) )^-1
= PD(P^-1)A(P^-1^-1)(D^-1)(P^-1)
= PD(P^T)AP(D^-1)(P^T)
より、
C^T = ( PD(P^T)AP(D^-1)(P^T) )^T
= (P^T^T)(D^-1^T)(P^T)(A^T)(P^T^T)(D^T)(P^T)
= P(D^-1)(P^T)APD(P^T).

おや？ これは、C^T = C になるとは限らないのでは？
D^-1 = D とは限らないからね。

実際、
A = D =
　　1　　0　　0
　　0　　2　　0
　　0　　0　　3
P =
　　1/√2　　-1/√2　　0
　　1/√2　　1/√2　　0
　　0　　　　0　　　　1
でやってみると、
C =
　　7/8　　-3/8　　0
　　3/8　　17/8　　0
　　0　　　0　　　3
となる。

C は対称行列ではないが、
対称行列 B =
　　3/2　　-1/2　　0
　　-1/2　　3/2　　0
　　0　　　0　　　3
によって対角化されている。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/07 23:55

あなたはなにをどのように考えたのですか? どこまでわかって, どこで困っているのですか?

この回答へのお礼

CとCの転置行列をそれぞれBと対角行列Λで表して解こうと考えました。
一応、ここからBに対称行列となるように各成分に文字を割り振って実際に計算すれば問われていることは示せると思うのですが、力技のような感じがして腑に落ちません。
綺麗に示す方法があるのであれば教えていただきたいです。

お礼日時：2019/08/08 00:57