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A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
A = (B^-1)CB, A は対角行列, B^T = B ですね。
B は実対称行列なので、直交行列によって対角化できて、
D = (P^-1)BP, D は対角行列, P^-1 = P^T です。
C = BA(B^-1) = PD(P^-1)A(PD(P^-1) )^-1
= PD(P^-1)A(P^-1^-1)(D^-1)(P^-1)
= PD(P^T)AP(D^-1)(P^T)
より、
C^T = ( PD(P^T)AP(D^-1)(P^T) )^T
= (P^T^T)(D^-1^T)(P^T)(A^T)(P^T^T)(D^T)(P^T)
= P(D^-1)(P^T)APD(P^T).
おや? これは、C^T = C になるとは限らないのでは?
D^-1 = D とは限らないからね。
実際、
A = D =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
P =
1/√2 -1/√2 0
1/√2 1/√2 0
0 0 1
でやってみると、
C =
7/8 -3/8 0
3/8 17/8 0
0 0 3
となる。
C は対称行列ではないが、
対称行列 B =
3/2 -1/2 0
-1/2 3/2 0
0 0 3
によって対角化されている。
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