おしえて

対角化

解決済

質問者：godhaya
質問日時：2023/01/22 17:46
回答数：1件

A が正則で対角化可能ならば A^(-1) も対角化可能.（Aはｎ次正方行列）

この証明を教えてください。お願いいたします。

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/01/22 19:43

D = P^-1 A P と置いた D が対角行列、かつ A が正則ならば、

detD = det(P^-1) detA detP = (1/detP) detA detP = detA ≠ 0.
対角行列の det は対角成分の積なので、 D の対角成分に 0 は無い。
よって、D の対角成分の逆数を対角成分に持つ対角行列 R
を作ることができ、D R = E である。 B = P R P^-1 と置くと、
A B = (P D P^-1)(P R P^-1) = P D (P^-1 P) R P^-1 = P D R P^-1 = P P^-1 = E.
となって、 B が A の逆行列である。
A^-1 は R = P^-1 A^-1 P と対角化可能であることが判った。