大学入試 数学 難問には別解が何通りもあるものなんでしょうか？

よく聞くのですが、だいたい載ってる解法は２～３程度ですが、７つもあるとかいってる人とかいるので疑問におもいました。
そもそも、計算課程で少し違うやり方も含むのならかなりの別解があるとは思うのですが、
ベクトルで解いたり平面幾何で解いたりという風に別の分野で解くのをひとつの解法として７つならかなりすごいと思うのですが・・・

そこで以下の問題の別解があれば教えてほしいです。（京大の問題）

三角形ABCにおいて∠B＝６０、Bの大変の長さbは整数、他の２辺の長さa,cはいずれも素数である。
三角形ABCは正三角形であることを示せ。


問題はできれば解いてほしいです。何よりも別解は上記のどちらを含めたことをいってるのかがよくわかりません
そこについての解答が一番ほしいです

↓答え（模範）





余剰定理から得られる式を因数分解しabcの関係式を解く（pointだけしか書かなくてすみません）

No.2 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2009/02/13 00:08

解法の例が示されていませんので別解かどうかは分かりません。

まずは簡単そうな解法から。

∠Ｂについて余弦定理を考えます。
ｂ^2＝ａ^2＋ｃ^2－２ａｃｃｏｓ６０°
　　＝ａ^2＋ｃ^2－ａｃ
　　(ａ－ｃ)^2＋ａｃ
ａｃ＝(ｂ＋ａ－ｃ)(ｂ－ａ＋ｃ)
ａ，ｃは素数、ｂは整数ということですから
ａ≧ｃとすると
ａ＝ｂ＋ａ－ｃ、ｃ＝ｂ－ａ＋ｃ
です。これよりａ＝ｂ＝ｃが出てきます。
（ｂ＋ａ－ｃ＝ａｃ、ｂ－ａ＋ｃ＝１　を満たすａ、ｂ、ｃは存在しません。）

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2009/02/12 23:34

昔、山梨県の武田神社にある算額の問題を解いたときは

解答者２６人で解き方は２６通りでした。
　階段を上ってすぐの手を洗う場所の上にあります。
参考URLを見てください。

さて、
この問題の解答ですが、
　模範解答とほぼ同じでしょうが書いておきます。
余弦定理から
b^2=c^2+a^2-ac
これから、
aとｃが異なる値なら
a=(b-c)(b+c)/(a-c)
または、
c=(b-a)(b+a)/(c-a)
となります。
　a>cの場合は
最初の式で符号を考えて
b>c
となります。
　角Cが角Bより小さいので
角Aは６０度より大きくなり、
辺aが最大長となります。
　最初の式で因数分解と約分をしたとき
因数aが残らなくてはなりません。
aが素数であり、最大であるので
aは　b+c　を因数分解したときに出てこなくてはなりません。
従って
b+c = ka
ここで、ｋ＝１なら三角形にならない
ｋ＞１ならｋは整数なので
ｋ＞＝２であり
b>a or c>a
となり、aが最大であることに矛盾する。
よって、a=cとなり、
ｂ＝ｃもいえる。よって正三角形。
また、
a<c の場合は２番目の式から同様に言える。

参考URL：http://www.wasan.jp/yamanasi/takeda3.html