問題「キッチンペーパーだけでバウムクーヘンを五等分せよ」 正解は？

「キッチンペーパーだけでバウムクーヘンを五等分せよ」
という数学問題についてネットで話題になっています。

ネット上で
「正解！」
「すごい！」
と話題になっているのは以下のものです。
問題「紙だけでバウムクーヘンを5等分せよ」→小学4年生のアイデアに目からウロコ！「着想、妄想、応用力、すごい！」
https://news.yahoo.co.jp/articles/9e30e39b5c7224 …

正解とされる画像を見ると、なにやらキッチンペーパーをおって五角形の柱体をつくってバウムクーヘンの輪の中に立て、柱体の頂点を目安にご等分する、というものらしいです

そこで質問があります。
Q１
この回答者の少年はキッチンペーパーを何度も折っては最終的に五角柱を作ったようですが、その手順が記事には正確に記載されていません。
回答者の少年はキッチンペーパーを折るだけで、どうやって
「バウムクーヘンの内側の輪に内接する五角柱を正確に作り上げた」
のでしょうか？
記事には
「紙を半分：2等分、さらに半分：4等分、さらにで8等分となってからの、5等分に必要ない3カ所の部分は遊ばせて、必要な箇所のみを活用して課題を見事に達成したところ。ここの気付きが素晴らしい。」
とありますが、これだけでは
「作った五角柱がバウムクーヘンの輪に内接する、ちょうどいい大きさ」
であることの根拠にはなっていません。
それとも
「偶然、作った五角柱がバウムクーヘンの輪に内接する、ちょうどいい大きさ」
になった、のでしょうか？

Q2
この問題、友人に聞いたらこう答えました。
「簡単じゃん。キッチンペーパーで細い紙の帯を作り、それを結ぶと結びめに正五角形が出来る。
　それを使えば五等分できるよ」
と言いました。
確かに紙の帯を結ぶと、なぜか不思議なことに正確な正五角形が出来上がります。

しかしキッチンペーパーの帯で作った正五角形はあまりにも小さいです。
その小さな小さな五角形を基に、バウムクーヘンを正確に五等分するにはどうしたらいいでしょうか？
（幅1メートルぐらいある巨大なキッチンペーパーで結び目を作れば、バウムクーヘンの下に敷けるくらいの正五角形が作れるでしょうが、それは現実的ではないですよね）
仮にこの問題が中学入試で出題されたとして、採点者が
「これは間違いなく正解」
と認めてくれるレベルの解答をおねがいします。


Q3
ついでですが、紙の帯を結ぶと、なぜ結び目が正五角形になるのでしょうか？

数学に詳しい方、お願いします。

No.5 回答者： yos1912 回答日時： 2022/12/17 17:58

Ｑ３の答えを忘れていました。

　紙がかなり硬い場合にのみできます。キッチンペーパーのような柔らかい髪では、帯が折れ曲がって一辺の長さが均一にはなりません

前の答えの補足ですが、辺を８等分してできる５角錐はかなり尖っていますから、真ん中の３６０度を利用して４５度８コから作った方がやりやすいかも。この場合真ん中まで切れ目を入れると形が整います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/12/20 18:20

No.4 回答者： yos1912 回答日時： 2022/12/17 17:36

写真を見る限りでは、左手前側の辺が大きくたわんでいますから、この部分の長さは短くなっていて、正確に五等分されているわけではなさそうです。

　報告文では最初に幅を八等分しているように書かれてますが、１辺の中点から１８０度の辺を８等分して２２.５度の角になるよう８コにわけ３つを重なるようにあわせれば５角錐ができますから、これを真ん中に差し込むことでぴったり内接する五角形を作ることができます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/12/20 18:20

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/17 14:11

A1:

うーん。内接させたんじゃなくて、
だいたい５等分になるように目安にした
ってことなんでしょうけどね。
内接させないと、５等辺というだけでは
正５角形とは限らないから、
正５角形っぽく見える⇒だいたい５等分
という大雑把な話なんだと思います。

与えられた円に内接する正５角形は
ユークリッド作図可能だから、
キッチンペーパーで折り出すことは
たぶん可能なんだろうけど、
小学生がそれをやったというのでは、
子供の柔軟な発想力という話にはならず
早熟な子がいたで終わってしまいます。
かなりめんどくさい作業になりそうだし。

A2:
できた小さい正５角形の各頂点と
その対辺の中点を通るように
キッチンペーパーの縁を置けば、
５角形を相似拡大することができます。

しかしここでも、Q1のときと同じように
５角形の中心が円の中心に重なっているか？
という問題は残りますが。
５角形を折って中心を見つけることも
円に２等辺三角形を重ねて中心を求めることも
容易ですから、正５角形さえ正確に作れていれば、
この方法は正確な５等分になりそうです。

A3:
これは、不思議で面白い現象ですね。
紙帯を結ぶ作業が超越的な処理なので、
できた図形が正５角形になる過程を説明するのは
困難そうです。紙帯の両端の距離の極大条件として
結び目が正５角形であることが出ると示せば、
物理現象としてそうなるのことの説明になるのかな？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/12/20 18:20

No.2 回答者： EFA15EL 回答日時： 2022/12/16 23:35

A1. 小４であることを考慮すると、思いついたのは正五角柱の作り方まででしょうね。

方法としても正確性が出せるのは辺の長さが同じ多角形を作れるということだけですから。

もちろん内接したのが偶然とまでは言いません。
そんなの目で見りゃ大体の長さは予想できますしね。笑
指でこんなもんかなーと当ててみる事だって出来る。
少し大きめに出来上がったとしても、全体を同じ程度たわませれば良いわけで。
自宅でバウムクーヘンをカットしてるだけですから、その程度の精度で十分と言えます。

A2. 包丁以外に使って良いのが「バウムクーヘンの輪よりかなり小さな正五角形の紙片だけ」であれば、「正確に五等分するのは不可能」というのが正解でしょう。
もう１枚バウムクーヘンよりやや大きな敷き紙も加えて良いのであれば、正五角形の紙片を中央に配置してガイドとなる線を引けば良いかと。
（細かく説明すると長くなるので短く書いてますが、まあ伝わると信じてます）

A3. 長くなるしテキストだけだとしんどうなあ、と思ったら良いサイトがありましたのでリンクを貼っときます。加える言葉はございません。
http://shochandas.xsrv.jp/angle5/fortuneslip.htm

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/12/20 18:20

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/16 23:12

Q1 「作った五角柱がバウムクーヘンの輪に」概ね内接する大きさになるように目分量で調節したんでしょうね。

正解とはとても言い難い。

Q2
A案: 厚みを5等分する。紙を使ってバウムクーヘンの厚みに当たる印をつけ、紙を平らに伸ばしてその長さを5等分すれば、1切れの厚みがわかる。
B案: 紙をバウムクーヘンの周囲に巻き、1周の長さに当たる印をつけ、紙を平らに伸ばしてその長さを5等分して印をつけ、その紙を再びバウムクーヘンの周囲に巻きつける。
　いずれにしても、「任意の長さの線分(図の緑の線)の5等分」なら、まあ「中学入試レベル」でしょう。
　（なお、ずっと難しいが面白い問題は「n人ぶん、誰からもモンクが出ないようにケーキを切り分ける」というもの。幾何学じゃ解けません。）

Q3 幅が一定のものを概ね5角形に組んで、紙が歪まない程度にアソビを減らすようにちょっとずつモゾモゾ調節していくと、概ね正五角形に落ち着く、という過程をモデル化して収束性を検討するわけだが、頑張って考えて書いても分かってもらえない気がするので、やらない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/12/20 18:20