定規・コンパスで２０度を作図する方法

８０度や２０度を作図する場合どうすればいいでしょうか？（定規・コンパスを使って）ご存知の方いたぜひ教えてください。

No.2 回答者： staratras 回答日時： 2011/03/01 22:20

コンパスと定規のみを有限回使う幾何学の作図題であれば

残念ながら20度や80度は描けません。

しかしこれだけでは面白くないので以下の2つのやり方で、
20度の作図を現実的（？）に考えてみました。
(20度が作図できれば６０度を加えると８０度になります）

1.何回も作図の操作を繰り返して20度に近い角度の作図をする。

コンパスと定規のみを使う作図でも、角の2等分をすることと、
角の和や差を求めることはできますのでこれを利用します。

60度・90度は容易に作れますので、
この2つの角を出発点として2等分を繰り返し、
　　　　　60度→30度→15度　　を作ります。　　…（1）
同様に　　90度→45度→22.5度　を作ります　　　…（2）

（(1)+(2)) ÷2　から　18.75度　ができます　　　…　(3)
（(2)+(3)）÷2　から　20.625度ができます　　　…　(4)
（(3)+(4)）÷2　から　19.6875度ができます　　　…　(5)
（(4)+(5)）÷2　から　20.15625度ができます　　…　(6)
（(5)+(6)）÷2　から　19.921875度ができます　　…　(7)
（(6)+(7)）÷2　から　20.0390625度ができます　

以下この操作を繰り返せば20度に限りなく近づきます
（残念ながら20度ピッタリにはなりませんが…）

このやり方のポイントは「二つ前の項と一つ前の項を足して2で割る」
方法で定まる数列の極限値が20になるような数列の初項と第2項の値を、
コンパスと定規だけで作図できる角度の数値の中から見つけ出すことにあります。

初項A1=p、第2項A2=qとすると、An+1=(1/2)(An+An-1)　で定まるこの数
列の極限値はこの式を隣接3項間の漸化式と考えて計算しますと
（1/3）p+（2/3）qとなりますので、これが20になるためには
p+2q=60を満たす必要があり、初項と第2項は上記の例　p=15,q=22.5のほか
p=30,q=15や、p=6,q=27でも可能です。

なお6度や27度を作るには定規とコンパスだけで正5角形の
作図が可能であることから、頂点の外角として72度が得られ、
これを出発点に72度→36度→18度→9度が作図可能で
15度-9度＝6度　（90度-36度）÷2=27度、となります。


2.定規に2か所だけ目盛をつけることを許してもらう。

こうすると角の3等分(コンパスと目盛のない定規だけでは不可能です）が
可能になりますので６０度を3等分して20度の作図が可能になります。
（アルキメデスはこの方法で角の3等分を行ったそうですが、
幾何学の作図問題では定規では2点間に直線を引くことしか
できないのがルールなので、作図問題の解答にはなりませんが…）

No.1 回答者： gomadare75 回答日時： 2011/02/27 17:16

残念ながら８０度や２０度は定規とコンパスによる作図が不可能です。