数学Aの図形の性質について質問です。 この問題では、2PQ=QRとなる長方形を書くのですが、 解説の

数学Aの図形の性質について質問です。
この問題では、2PQ=QRとなる長方形を書くのですが、
解説の、丸4のBS’とACの交点が、Sになるのはなぜですか？
これって、四角形P’Q’R’S’を平行移動させてSに合わせて、拡大しているってことでしょうか？
とにかく、なぜBS’とACの交点が四角形PQRSとして、上手くいくのかがよくわかりません。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  証明を求めてるわけではないです。
  なぜ、内接する四角形がこのように直線BS'と辺ACの交点によって最大値Sを求められるのかをわかりやすく教えてほしいです。

    補足日時：2024/04/29 17:45

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/29 09:36

＞丸4のBS’とACの交点が、Sになるのはなぜですか？

△BP'Q' と△BPQ は相似。
相似比は BQ' : BQ = BP' : BP。

△BP'S' と△BPS は相似。
相似比は P'S' : PS = BP' : BP 。

従って、
　P'Q' : PQ = P'S' : PS
よって
　P'Q' : P'S' = PQ : PS = 1 : 2
であり、S は直線 BS' 上にある。

△BP'Q' の代わりに△BR'S' を使ってもよい。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/29 10:07

①辺AB上に点P'をとり,P'から辺BC上に垂線P'Q'を引く

②2|P'Q'|=|Q'R'|を満たす点R'を直線BC上の点Q'の右側にとる
③線分P'Q',Q'R'を隣り合う2辺とする長方形P'Q'R'Sを作る
④直線BS'と辺ACの交点をSとし,Sから辺BC上に垂線SRを引く
⑤
Sを通りBCに平行な直線と辺ABとの交点をPとする
⑥
Pから辺BCへの垂直点をQとする

∠RBS=∠R'BS'
∠BRS=90°=∠BR'S'
2角が等しいから
△BRSとBR'S'は相似だから
|RS|/|BS|=|R'S'|/|BS'|
{RS|/|R'S'|=|BS|/|BS'|

∠PBS=∠P'BS'
PS//P'S'で同位角が等しいから
∠BPS=∠BP'S'
2角が等しいから
△BPSとBP'S'は相似だから
|PS|/|BS|=|P'S'|/|BS'|
|PS|/|P'S'|=|BS|/|BS'|
↓これ=|RS|/|R'S'|から
|PS|/|P'S'|=|RS|/|R'S'|
↓両辺に|P'S'|/|RS|をかけると
|PS|/|RS|=|P'S'|/|R'S'|
↓|QR|=|PS|,|PQ|=|RS|,|P'S'|=|Q'R'|,|R'S'|=|P'Q'|だから
|QR|/|PQ|=|Q'R'|/|P'Q'|
↓|Q'R'|/|P'Q'|=2だから
|QR|/|PQ|=2
↓
∴
|QR|=2|PQ|

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/29 14:32

＞ 四角形P’Q’R’S’を平行移動させて

＞ Sに合わせて、拡大しているってことでしょうか？

違います。
四角形P’Q’R’S’を相似拡大して
PQRSの頂点Ｓが辺CA上にくるようにしているのです。

四角形P’Q’R’S’と四角形PQRSが
点Ｂを中心とする相似の位置にある
ことを確認しましょう。

「解答」の手順で②を
②’ 線分Q’Ｃ上に任意に点Ｒ’をとる。
に置き換えても、⑥まで行うと
辺ＱＲが辺BC上、頂点Pが辺AB上、頂点Sが辺CA上
にあるような長方形PQRSが描けますね。

相似なので、②の時点で 2P’Q’=Q’R’ にしてあれば
できあがった長方形PQRSは 2PQ=QR になります。

この回答へのお礼

相似の位置というのを調べ直したのですが、相似の位置にある。としてもだからって求める四角形がかける理由がいまいちよくわかりません。
掃除の位置は、2倍の大きさの図形を拡大して書くときなどで使うと思うのですが、今回は何倍かもわからないので相似の図形の使い方はあっているのでしょうか?
あまり相似の位置というものをあまり良くわかっていませんので、なんで求める四角形として成りたてるのかを教えてください。

お礼日時：2024/04/29 17:39

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/29 18:29

掃除の位置は、教室の後ろの角で、中にはホウキとモップとバケツが入っています。

相似の位置は、2倍だけでなく、様々な倍率に図形を相似拡大して書くとき使えます。
質問の解答では、P’Q’R’S’を点Sが辺CA上にくるような大きさのPQRSへ拡大する
ために使っていますね。
その倍率はわかりません。そもそも①②③の時点でP’Q’R’S’の大きさも不定だし。

でも、倍率なんかわからなくても、2P’Q’=Q’R’ で、P’Q’R’S’とPQRSが相似なら、
2PQ=QR であることは決まっていますよね？ それで目的は達しているでしょう？

この回答へのお礼

変換ミスでしたね。
相似の位置って、点Bからすべての頂点に対して引いている線上にあれば、Bからの距離が2倍とかじゃなくても切り悪く1.4倍の位置にあるとかでもすべてBからの距離の比が、正しければ、相似の位置であるのでしょうか?

https://jhs.yorikuwa.com/mm3502/2/

での、相似の位置の説明の「点 O と対応するまでの距離の比」というのは、OA:OB:OCが出来ている位置であればOからの距離は関係ないのでしょうか?

お礼日時：2024/04/29 19:06

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/29 18:40

No.1 です。

＞証明を求めてるわけではないです。

いや、証明しているわけではありません。
「論理的にそうなる」ということがわかれば、それを問題解決に使えるということです。

問題解決の方法は、1→10 と順方向に気づけばよいですが、そうでない場合には最終決着地点から 10→1 と逆向きにたどって見つかることもあります。

＞なぜBS’とACの交点が四角形PQRSとして、上手くいくのかがよくわかりません。

上に書いたように、最終決着地点から「そうやったら上手くいく」ことがわかれば、それも解決方法を見つけるやり方のひとつですよ。

この回答へのお礼

それもそうですが、、、

お礼日時：2024/04/29 18:57

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/29 19:23

＞ Oからの距離は関係ないのでしょうか?

関係あるかないかという話は主観的評価で、
そのこと自体が問題とはそれこそ「関係ない」のすが...

そのリンク先の図で、例えば A’B’：B’C’ = AB：BC が成り立つようなことを
今回の解答では利用しているのです。P’Q’：Q’R’ = PQ：QR = 1：2 です。

この回答へのお礼

とてもわかり易い解説ありがとうございました(^○^)

お礼日時：2024/04/30 01:03