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数学I

三角形ABCにおいてbtanA=atanBが成り立っているとき、この三角形はどのような三角形か

全く分かりません。回答お願いします。

A 回答 (3件)

とりあえず苦言として、


a, b がそれぞれ角A, B の対辺であることは、ひとこと断らないと。
こういうのを明記せずに「そうに決まってる」とやらかすのは、
(中高を除く)数学ではたいへん嫌われます。

式の中に辺の情報と角の情報が混在してると扱いづらいので、
どっちかに統一しましょう。辺に統一したほうが、後で図形的に
解釈するのが易しい場合が多いのですが、今回は No.2 のように
角に統一するほうが簡明ですね。

でも、辺に統一するほうも書いてみようかな。
両辺を二乗すると、(b^2)(1/(cosA)^2 - 1) = (a^2)(1/(cosB)^2 - 1).
余弦定理を使って cos を消すと、
(b^2)((2bc/(a^2 - b^2 - c^2))^2 - 1) = (a^2)((2ac/(b^2 - a^2 - c^2))^2 - 1).
分母を払って因数分解すると、
(a - b)(a - b - c)(a + b - c)(a - b + c) = 0.
三角形の成立条件(三角不等式)から a - b - c, a + b - c, a - b + c は 0 でない
ので、 a - b = 0 と判ります。二等辺三角形です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私は問題集の問題をそのまま書きこんだので苦言なら出版社にお願いします。
配慮に欠けてしまい申し訳ございません。

お礼日時:2024/03/27 03:24

角Aに対する辺の長さがa,角Bに対する辺の長さがbとすると


bcosB/sinB=acosA/sinA
正弦定理でこの三角形の外接円の半径をRとすると
2RcosB=2RcosA
cosB=cosA
より
B=A
a=b
になります
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三角形ABCにおいて、btanA=atanBが成り立っているとき、この三角形は直角三角形です。

tanA=tanBのとき、A=Bです。つまり、角Aと角Bが等しいため、三角形ABCは直角三角形になります。
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