数2の関数の接線の問題なのですがこの青で囲ったーaの二乗はなぜ符号がプラスにならないのですか？教えて

Question

数2の関数の接線の問題なのですがこの青で囲ったーaの二乗はなぜ符号がプラスにならないのですか？教えてくださーい。

finalbento · Accepted Answer

まだ締められていないようなので式の計算についてもう一つだけ。

何となくですが、質問者様は単項式と多項式の違いを気にし過ぎているような気がします。もちろん無制限にと言うわけではありませんが、単項式と多項式は互いに読み替える事、すなわち多項式を単項式と解釈したり逆に単項式を多項式と解釈したりする事ができます。例えば質問者様が「目が点」状態になっておられた

(2a+3)(x-a)+(a^2+3a+4)

=(2a+3)x-2a^2-3a+(a^2+3a+4)

と言う変形は分かりやすく書くと、まず

2a+3=A

と言う具合に置き換えて「一つの単項式」扱いにします。そしてこの置き換えの元で計算を進めると

(2a+3)(x-a)

=A(x-a)

=Ax-Aa

そしてAを元に戻すと

Ax-Aa

=(2a+3)x-(2a+3)a

(2a+3)-2a^2+3a

となります。そして横に置いておいた

a^2+3a+4

と言う式を最後に付け加えれば最初に書いた式の変形が完成します。

なお慣れて来れば「2a+3をひとかたまり(単項式扱い)にしたら良さそう」と言うのが見えるようになります。なので実際の計算ではいちいちAに置き換えずに

(2a+3)(x-a)

=(2a+3)x-(2a+3)a

と言う具合に言わば「生のまま」で計算するのが普通です。

なお「単項式を多項式と解釈」の方は例えば

2a=a+a

と読み替える事が挙げられるでしょう。もっともこちらの方はそれほど使う機会はなさそうな気もしますが。

(なおこれは「計算したらこうなる」と言うだけではなく、小学校で初めてかけ算を習った時に説明されているはずですが、これは言わば2aの定義です)

sorewasennsei · Answer

直線の傾きは
y軸方向の増加量/x軸方向の増加量
で今はこれが2a+3
なので
{y-(a^2+3a+4)}/(x-a)=2a+3

hijitaka · Answer

直接的な回答でなくてすみませんが……。

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質問者さんは計算が苦手なら該当する

NHK高校講座のホームページの中の数学１の放送第２回、第４回（展開〉

あたりまでさかのぼるといいかもしれません。

tknakamuri · Answer

y=f(x)のx=aでの接線は、点(a、f(a)) を通り、傾斜がf'(a)の直線だから
y-f(a)=f'(a)(x-a)
f(a)=a^2+3a+4
f'(a)=2a+3
を入れたろ写真のようになります。
何故プラスだと思った?

mtrajcp · Answer

分配則

stomachman · Answer

y - (a² + 3a + 4) = (2a + 3)(x - a)
まずは右辺にある (x - a) を展開します。
　　y - (a² + 3a + 4) = (2a + 3)x - (2a + 3)a 
さらに、右辺に二つある (2a + 3) のうち、二つ目を展開します。
　　y - (a² + 3a + 4) = (2a + 3)x - 2a² - 3a 
さて、左辺にある - (a² + 3a + 4) を移項します（「移行」じゃないからねっ！）。それには両辺に  (a² + 3a + 4)  を足せば良いから、
　　y  =  (2a + 3)x - 2a² - 3a + (a² + 3a + 4)
（「なぜ符号がプラスにならないのですか」って、いやいや、プラスになってますよね。）次に、右辺の  (a² + 3a + 4)  のカッコをはずす。
　　y  =  (2a + 3)x - 2a² - 3a + a² + 3a + 4
右辺の第2項以降を a について整理すると、
　　y  =  (2a + 3)x + (1 - 2)a² + (-3 + 3)a + 4
だから、右辺第2項、第3項のカッコ内を計算して
　　y  =  (2a + 3)x + (-1)a² + (0)a + 4
すなわち
　　y  =  (2a + 3)x - a² + 4

という風に、手順を踏んでやればいいだけです。
　こういう計算は単なる機械的操作。少し練習すれば、簡単な所は暗算で片付けることによって、途中段階をある程度すっ飛ばせるようになります。

さて、その練習を全然していないという意味で「結構やばい」人が、他人様が途中段階をすっ飛ばして計算しているのを見よう見まねすると、（時には偶然アタルかもしれないが）大抵はデタラメな結果になる。

finalbento · Answer

最後にもう一つだけ。

(a+b)(c+d)

=ac+ad+bc+bd

と言う展開の式は丸暗記する必要はありません。と言うよりむしろ「丸暗記してはいけない」とさえ言えるでしょう。分配法則で機械的に計算すれば出て来る式ですし、ひょっとしたら「丸暗記していたから分からなかった(∵式の変形の途中が頭に浮かばなかった)」と言う事かもしれませんし。

finalbento · Answer

今回のお礼コメントに対してですが、「次の式を展開しなさい」と言う問題で

(a+b)(c+d)

と言う式が出されていたとすれば、その答えは質問者様が書いておられるように

ac+ad+bc+bd

等だけです。そしてその展開の途中経過として出て来る式が

(a+b)c+(a+b)d

と言う式です。そして問題によっては最後まで全部展開してしまわずに、展開を途中で止めた式を使う方が便利な場合もあります。今回の問題ではそうしたわけです。

finalbento · Answer

ひょっとして

(2a+3)(x-a)…②

と言う式から

(2a+3)x-a(2a+3)…③

と言う式に変形させた時に、②式の中のx-aがそのまま③式にある(ように見える)x-aになったと思っておられるんでしょうか。だとしたら「んなわけねえじゃん」と言う事になります。③式はxについての整式として見た目が良くなるようにこう言う書き方をしただけであって、これを

(2a+3)x-(2a+3)a…③'

と書いても全く構いません。

finalbento · Answer

今回のお礼コメントにあった「単体で展開」が何を指してるつもりなのかよく分かりませんが、要は分配法則を使って計算しているだけです。分配法則って

a(b+c)=ab+ac…①

などと言った式の事でしたよね。項が二つの式同士の展開も全く同じで

(a+b)(c+d)

(a+b)c+(a+b)d

などとなります。後は①式の分配法則の式にあった計算を続けてやれば全部展開できますし、その必要がないなら計算を途中で止めた式を使えばいいだけです。

数2の関数の接線の問題なのですがこの青で囲ったーaの二乗はなぜ符号がプラスにならないのですか？教えて

まだ締められていないようなので式の計算についてもう一つだけ。

直線の傾きは

直接的な回答でなくてすみませんが……。

y=f(x)のx=aでの接線は、点(a、f(a)) を通り、傾斜がf'(a)の直線だから

分配則

y - (a² + 3a + 4) = (2a + 3)(x - a)

最後にもう一つだけ。

今回のお礼コメントに対してですが、「次の式を展開しなさい」と言う問題で

ひょっとして

今回のお礼コメントにあった「単体で展開」が何を指してるつもりなのかよく分かりませんが、要は分配法則を使って計算しているだけです。

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