高校数学での接線についての質問です。 曲線の端点に接線はありますか？ 接線の定義は、ある点を共有して

高校数学での接線についての質問です。
曲線の端点に接線はありますか？
接線の定義は、ある点を共有していてその点で傾きが同じ直線だと習ったんですが傾きがない場合はどうなるんですか？

例えば、y=(x-5)^2+1　(4≦x≦6)の曲線Ｃがあったとして、(0,0)を通る接線を求めるとき、y=0は接線と含んでもいいんでしょうか？
(4,0)(6,0)では、Ｃは傾きを持たないのでその点（曲線の端点）を共有する直線は何でも接線ですか？
ex)y=x-4,y=2x-12　など…
それとも曲線の端点は、接線を持たないのですか？

質問者からの補足コメント

• すいません。ウィキペディアを見たのですがよくわかりませんでした。
  自分で理解できる範囲で見た限りでは微分係数が等しいとかが書いてあったので結局、曲線の端点には接線はないということですか？

    補足日時：2021/02/02 07:34

• 端点に傾きはあるんですか？

    補足日時：2021/02/02 17:56

• 傾きはその点の前後から極限をとって、それが一致したらその極限が傾きだと習いました。
  そうなら端点に傾きはなくないですか？

    補足日時：2021/02/02 17:58

• すいません。
  何を言われているのか全くわかりません。
  割線が作れるの意味もその極限としての接線というのもわかりません。
  できれば高校範囲内で教えて下さいm(_ _)m

    補足日時：2021/02/02 18:10

• 片側からだけで良いということは、端点での接線は唯一つに決まるということですか？
  y=|x|
  のような場合は、x=0での接線は2つになるということですか？

    補足日時：2021/02/03 16:31

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2021/02/02 19:52

もしも「有限な曲線の端点には接線はない(傾きもない)」とすると、例えば止まっている車を加速するような場合、止まった状態の時点では「速度も加速度も存在しない(「速度や加速度がゼロ」と言うのではなくその概念自体が存在しない)」と言う非現実的な事になってしまいます。

なのでこう言う場合には「その点の両側から極限を取って」と言う事にはこだわらずに「片側からの極限でも構わない」とするべきだと思います。「両側から極限を」にこだわり過ぎると、場合によっては微分を考えた意味がなくなってしまいかねません。


cf:サイトで見ただけですが昔の数学の本の中には「(そのような場合は)片側からの極限だけで構わない」と言う旨の記述をしているものもあったそうです。

この回答へのお礼

わざわざ調べてくださりありがとうございますm(_ _)m

お礼日時：2021/02/03 16:32

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2021/02/02 19:42

改めて「接線」を辞書サイトで調べてみたら以下のような記述がありました。

曲線上の二点P･Qを結ぶ直線があるとき、Qを限りなくPに近づけたときの極限の直線を、この曲線の点Pにおける接線といい、Pを接点という。

この説明によれば、点Pを有限な曲線の端点、点Qを曲線上の端点以外の点に取ると、端点にも接線やその傾きが存在している事になります。率直に言ってこのような場合には「その前後から極限を取って」と言う形での傾きの定義は妥当ではないと思います。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/02 18:04

グラフの端点を通る割線は作れるから, その「極限」としての接線も作れる.

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2021/02/02 12:20

「傾きを持たない」とありますが、質問者様は傾きをどう言うものだと思っておられるのでしょうか? 問題の点ではグラフに接する線を引けるわけですから接線は存在するし、その傾きがその点でのCの傾きとなるはずだと思いますが。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/02 00:11

たぶん「高校数学」でそういうケースは出てこないと思うけど....

さておき, 一般には「2次の接触を持つ直線」で定義するんじゃないかな. もうちょっときちんというなら Wikipedia の当該項
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A
をどうぞ.