理解しがたい部分があります。解説お願いします。放物線y=x²上の異なる2点P(p, p²), Q(q

理解しがたい部分があります。解説お願いします。放物線y=x²上の異なる2点P(p, p²), Q(q, q²) における接線をそれぞれl₁l ₂とし、その交点をRとする。
l₁とl₂が直交するように2点P、Qが動くとき、 点Rの軌跡を求めよ。

↑以上問題ですが、軌跡としてy=-1/4が求められます。ここで、「逆に」の確認について、任意のxに対して実数p、q（p≠q）が存在すると言うことは理解できます。しかし、この確認でp、qを解とする二次方程式（-1/4=2tx-t^2）で判別式D>0をわざわざ示すのはなぜでしょうか？「逆に」のくだりは形式的なものではないのですか？

確認ですが、l₁とl₂が直交するように2点P、Qが動くならばRの軌跡はy=-1/4」これの逆を示すとき「Rの軌跡がy=-1/4ならば放物線y=x²上の異なる2点P(p, p²), Q(q, q²) における接線はそれぞれl₁l ₂として存在する」そして、実際pおよびq（≠）が存在するのであれば示せるということですよね。

異なる2点が実数かどうかが明示されていないから示すという話ですか？もし異なる2点pqについて実数であると表記されていた場合は逆の検証は必要ありませんか？

質問者からの補足コメント

• 24時間経たないとBA選べないらしいのですが、一応締め切りという形にさせていただきます。お二方ありがとうございました！_(._.)_！
  1日経過して選択できるようになってから
  BAつけさせていただきます！！

    補足日時：2024/08/28 22:28

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/28 22:11

> 除外点を考慮しようってことですか？十分条件（十分条件でいいんですかね）がどの範囲において成り立つかという話ですか？

どちらも同じことを仰っていると思いますが、はい、それでいいんです。y=-1/4の直線、すなわち{(x,y) | y=-1/4}から、全ての除外点を取り除いたものこそが「軌跡」と呼ばれる集合ですね。

この回答へのお礼

すみません。
そうですよね、、（汗
ほんとに助かりました。
ありがとうございます！_(._.)_！

お礼日時：2024/08/28 22:24

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/08/28 23:45

訂正

#6 の　p≠0 → x≠0 は間違いでした(p=1/2 → x=0)。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/08/28 23:37

なお、任意のpについて

　2x=p+q=p-1/(4p)
だから、「xも任意の実数範囲となる」としてよい。


(>_<)・・・・って、違った。

p≠0 だから、xは0を除いた任意の実数だった。m(__)m

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/08/28 23:26

とても、分かりにくい話ですが、命題の「逆」とか「確認」とかは無関

係と思う。

ぶっちゃけ、y=-1/4 は導けたが、xの範囲が決めないと、軌跡を問う
解答になっていない。だから
　p+q=2x, (y=)pq=-1/4
の連立式が、任意のxについて、実数解p,qをもてば、xの範囲は任意の
実数と決定できる(つまり、軌跡は y=-1/4の直線)。

このことは、「tの２次式　t²-2xt-1/4=0 の解と係数の関係から、判別
式が正であればよい」を使っている(D=x²+1/4>0)。

この回答へのお礼

難しいですね…(_ _;)
回答ありがとうございます

お礼日時：2024/08/29 07:32

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/28 21:43

xのとり得る値の範囲がすべての実数である事は示す必要があるのです

p、qを解とする二次方程式
t^2-2xt-1/4=0
の
判別式
D/4=x^2+1/4>0
だから
xのとり得る値の範囲がすべての実数である
とわかるのです

仮に
D/4=x^2-1/4
だったとするならば

xのとり得る値の範囲は
x<-1/2 または x>1/2
だから

Rの軌跡は　y=-1/4 の(x<-1/2 または x>1/2)の部分
となるのです

この回答へのお礼

回答ありかとうございます。

お礼日時：2024/08/28 21:59

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/28 21:42

A: 「放物線y=x²上の点P, Qにおける接線l₁, l₂が直交しさえすれば、

　　　これらの接線の交点Rのy座標は-1/4だ」
ということと、
　B:「点Rのy座標が-1/4でありさえすれば、
　　　放物線y=x²上の点P, Qにおける接線l₁, l₂がRで交わって、
　　　しかも直交するような、そういうP, Qが存在する」
ということとは別の話です。
　Aが成り立っているというだけですと、Rが動く範囲は直線y=-1/4の全体に及ぶとは限らず、直線y=-1/4の一部分の範囲だけに限られているかもしれない。すなわち
　C:「放物線y=x²上の点P, Qにおける接線l₁, l₂が直交していて、
　　　それらはRで交わっている。
　　　そして、Rのx座標がある値ZになるようなP, Qは存在しない」
ということもありうる。だから「逆に」のくだりは省略できないんです。

> 異なる2点が実数かどうかが明示されていないから

　いいえ。y=x²を放物線（の方程式）と言っている。また「接線」の話をしている。ですから、実数に限定していることは明らかですね。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます(_ _;)
質問文長いのに一つ一つ答えていただいて助かりました。追加で質問させていただきたいのですが、実数は明らか（前提）としたうえで除外点を考慮しようってことですか？十分条件（十分条件でいいんですかね）がどの範囲において成り立つかという話ですか？理解が悪くてすみません。

お礼日時：2024/08/28 21:57

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/28 19:55

＞ここで、「逆に」の確認について

＞「逆に」のくだりは形式的なものではないのですか？

どこにも「逆に」なんて書いてありませんけど？