2つの円の中心間の距離

2つの円の中心間の距離を求めようとしています。

ベルト長が310mmのベルトが1つと
直径28.3mmと76.7mmのふたつの円があります。

添付図のようにベルト内側にベルトが張った状態に2つの円を離した際の
2つの円の中心間の距離は何mmになりますか？

おおよその値は分かっていますが、何か公式で簡単に求めることが出来ますか？
宜しくお願いします。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/10/31 14:40

図のように補助線を引き、記号を割り振ります。

青線の長さがベルト長になり、
ベルト長＝接線AB＋接線CD＋円弧AFC＋円弧BED
　＝y＋y＋大円Oの円周*(１－(θ/π))＋小円Qの円周*θ/π)
　＝2y＋76.7(π－θ)＋28.3θ
　＝2y＋76.7π－48.4θ
　＝310 ...(A)
ここで △OPQで
　tanθ＝y/24.2 より θ=tan^-1(y/24.2) ...(B)
また、円の中心間の距離OQ=xは3平方の定理より
　x=√(y^2+24.2^2) ...(C)

(A),(B)より
　2y＋76.7π－48.4tan^-1(y/24.2)＝310
この解yを解析的に求めることは困難なので、数値解析で解きます。
　f(y)＝2y＋76.7π－310－48.4tan^-1(y/24.2)　(y＞0)
と置いて高校数学で習うニュートン（ニュートン=ラプソン)法でf(y)＝0の解を求めます。
初期値（近似値）を y0＝60としてニュートン法を適用すれば
　y＝63.7538　mm
と得られます。これが添付図の接線ABまたはCDの長さになります。

(C)より求める円の中心間の距離xは
　x＝68.1923 mm
と求まります。

参考URL
(ニュートン法)

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートン法

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/31 13:20

2 円の中心 O1, O2 から (同側) 共通接線と円との接点 P1, P2 へ引いた直線は接線に直交する。

P1, O1, O2 を頂点とする平行四辺形 P1, O1, O2, Q を作る。当然、辺 P1-Q は O1-O2 に平行。
2 円の半径を R1, R2 (> R1) 、O1, O2 間の距離を d とする。
(ここまで略図でも描いてみて…)

ベルト長 L を分割してみると？
P1-Q と P1-P2 との角度をφとすれば、φ= arcsin{(R2-R1)/d} として、
　両円にかかっている部分 = R1*(π- 2φ) + R2*(π+ 2φ)
　それ以外の部分 = 2*√{d^2 - (R2-R1)^2}
である。

その関係式で d が未知数だとすると？
　2*√{d^2 - (R2-R1)^2} = ベルト長 - 両円にかかっている部分
　= L - R1*(π- 2φ) - R2*(π+ 2φ)
が成立するはず。
これから d を求めてみると、
　d^2 = (1/4)*{L - π(R1+R2) + 2φ(R1-R2) }^2 + (R2-R1)^2
　d = √[(1/4)*{L - π(R1+R2) + 2φ(R1-R2) }^2 + (R2-R1)^2]　　　…(*)
という恐ろしい算式になります。

何が「恐ろしい」のか？
(*) の右辺にある φ= arcsin{(R2-R1)/d} に求めるべき d が含まれているため、スンナリ解けない形なのです。
さいわい、(*) に「不動点収束法」をかけてみてら、アッサリと収束してくれました。
スプレッドシートにて簡単に組めます。
　・ d の値を適当に指定し (*) の右辺値を勘定させる。その結果を d' とする。
　・ その d' を d とみなして、(*) の右辺値を再勘定させる。
これを繰り返すだけで、指定値 d と右辺結果の d' とが (有効桁数内にて) 一致します。
その結果が求めるべき d です。

L = 310, R1 = 14.15, R2 = 38.35 を与えた試行結果は？
　d = 68.2
でした。
ご参考まで。

　　　

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/10/30 23:57

二つの円を円ＰおよびＱ（大きい方を円Ｑとします。

）とし、その中心をそれぞれ点ＰおよびＱ、半径をそれぞれＲ１とｒ２とします。円Ｐ、Ｑとベルトが接する点をそれぞれＲおよびＳとすると、四角形ＰＱＳＲは台形になります（ＰＲとＱＳが平行）。

∠ＰＱＳ＝Θとすると、円Ｑにかかっているベルトの長さは
２πｒ２＊２Θ／２π＝２ｒ２・Θ
円Ｐにかかっているベルトの長さは
２ｒ１（π－Θ）
であり、円にかかっていないベルトの長さ（つまりＲＳの二倍）は
３１０－２ｒ２・Θ－２ｒ１（π－Θ）
です。よってＲＳの長さは
１５５－ｒ２・Θ－ｒ１（π－Θ）・・・（１）
となります。

さらにＱＳに対してＰから垂線を下ろし、ＱＳとの交点をＴとします。
すると
ＴＱ＝ｒ２－ｒ１　・・・（２）
です。また、ＰＱの長さは
ＴＱ／ｃｏｓΘ＝（ｒ２－ｒ１）／ｃｏｓΘ・・・（３）
です。△ＴＱＰは直角三角形なので、（１）～（３）の三者には三平方の定理が成り立ちます。
最後まで解いてはいませんがエクセルのソルバーとかを使うのかなと思います。