No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
二つの二次関数が接する点の傾き(接線?)は二つとも同じ。
= 二つの二次関数が接する点の微分は二つとも同じ。
ですよね。
だけど、それだと納得できないわけですよね?
さて、
二次関数に限らないのですが、
2つの曲線が接するとき、あるいは、1つの曲線と1つの直線が接するとき、
接している部分は線の傾き同士が同じです。
逆に、そうでない場合を考えましょうか。
片方の曲線の傾きがm、
もう片方の曲線の傾きが-1/m
という関係であるとき、両者の傾きは垂直(90°)です。
傾きが垂直だったら十字に交わりますから、接するわけはないですよね?
90°でなくても、0°以外の場合では、接することはできずに交わってしまうことについては、
紙に落書きして試してみてください。
以上、ご参考になりましたら。
No.3
- 回答日時:
「接する」という現象は、
「2つの曲線(または直線)がどんどん近づいていって、共有点を持って、再び離れていく」時のことを言います。
つまり接する前後で、2つの関数fとgの大小関係は一緒でなければなりません。
ここで、接線と言うのはその点から少しだけxを進めた時にどのくらいyが変化するか、ということを表しています。ようはある点aでの接線の傾きが1なら、そこから少しだけ(例えば0.001だけ)xを進めた時、yは大体0.001増えるということです。(接線の傾きが2なら0.002増えます)
これらのことをあわせて考えると、
グラフfとgで、共有点での接線の傾きが異なり、共有点より前の接線の傾きがfの方がgより小さくて、共有点より後のfもgより小さければ、fとgはクロスすることになります。(グラフを描いて確かめてください)
共有点での接線の傾きが異なり、共有点より前の接線の傾きがfの方がgより小さくて、共有点より後のfがgより大きければグラフは交わりませんが、fはカクンとした(尖った)グラフになります。
よって、接するためには
共有点より前の接線の傾きがfの方がgより小さくて、共有点より後のfがgより大きく、なおかつ共有点での接線の傾きが等しい必要があります。
長文失礼しました。参考になれば幸いです。
No.4
- 回答日時:
2つの二次関数であらわされる曲線を
y = f(x)
y = g(x)
とする。
これらはx=αで接するものとする。
その条件は、
二次方程式f(x) - g(x) = 0について、重解αを持たなければ
ならない。よって、左辺はA(x-α)^2という形の式になる。
それで、f(x)-g(x) = A(x-α)^2であるから、
f(x) = g(x) + A(x-α)^2 = g(x) + Ax^2 -2αAx + Aα^2
f ' (x) = g ' (x) + 2Ax - 2αA = g '(x) + 2A(x-α)
f ' (α) = g ' (α) + 2A(α-α) = g '(α)
よって、2つの二次関数が互いに接するとき、その接点の傾き
は等しい。
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