三次関数のグラフ 微分した二次関数の＝0の解が1つ(重解)の時 元の三次関数のグラフはなぜ単調に増加

三次関数のグラフ

微分した二次関数の＝0の解が1つ(重解)の時

元の三次関数のグラフはなぜ単調に増加すると言えるのでしょうか？

一度グラフの傾きは0？になるので単調に増加とは言えないのでは？

No.3 ベストアンサー 回答者： AっKI 回答日時： 2023/05/12 13:37

減少に転じなければ「単調に増加」と言っていいのです。

No.4 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/05/13 14:35

単調増加(狭義単調増加)って、a < b ならば f(a) < f(b) が成り立つこと。

広義単調増加なら、a ≦ b ならば f(a) ≦ f(b) が成り立つことです。
接線の傾きは、関係はするけれど、それで決まるわけでもありません。
f(x) が 3次関数で、f’(x)=0 が重根を持つ場合の y=f(x) のグラフは下記のようです。
単調(x^3 の係数により増加または減少)になっているでしょう？

例えば、 f(x) = x^3 のとき、 a < b ならば f(a) = a^3 < b^3 = f(b) ですね？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/11 20:43

f'(a)=0

x≠aのときf'(x)>0
とする

t<x≦a.または.a≦t<x
のとき
平均値の定理から
t<c<x
{f(x)-f(t)}/(x-t)=f'(c)
となるcがある
c≠aだから
{f(x)-f(t)}/(x-t)=f'(c)>0
x-t>0
だから
f(x)-f(t)>0
f(t)<f(x)

t<a<x のとき
平均値の定理から
t<b<a
{f(a)-f(t)}/(a-t)=f'(b)>0
となるbがある
a-t>0だから
f(a)-f(t)>0だから
f(t)<f(a)
平均値の定理から
a<c<x
{f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(c)>0
となるcがある
x-a>0だから
f(x)-f(a)>0だから
f(a)<f(x)
↓f(t)<f(a)だから
f(t)<f(x)

{t<x→f(t)<f(x)}が成り立つからf(x)は単調増加

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/11 11:14

y=-x^3

とすると

y'=-3x^2=0の解(x=0)が1つ(重解)だけれども

y'=-3x^2≦0
だから
y=-x^3 のグラフは単調減少になるから

単調増加とはいえません

この回答へのお礼

回答感謝です。申し訳ございません。x^3の係数が正の数の場合のみでお願いします

お礼日時：2023/05/11 15:35