x=tany を微分すると、 dx=1/cos^2y dyになりますよね？？ このdyとはどういう意

x=tany を微分すると、
dx=1/cos^2y dyになりますよね？？

このdyとはどういう意味ですか？？( .. )

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/24 14:24

中学校で習った、変化の領域と変化の割合の関係です。

ｙの変化の領域がｙ₂－ｙ₁＝Δｙの時、ｘの変化の領域がｘ₂－ｘ₁＝Δｘである時（番号１，２は任意）
変化の割合Δｘ/Δｙ＝1/cos^2y

lim[x₁→ｘ₂］ｘ₂－ｘ₁＝Δｘ＝siny₂/cosy₂-siny₁/cosy₁＝(siny₂cosy₁-cosy₂siny₁)/cosy₂*cosy₁
　　　　　　　　　　=sin(y₂-y₁)/cosy₂*cosy₁＝ｄｙ/cos²y₂

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/24 12:11

dx, dy を微小量と考えることは、心情的には理解しやすいし、オイラーなんかもやってたけど、

それをきちんと形式的にやるには、それなりの準備が必要。実数論を、今大学の標準的な教程
になっているコーシー流ではなく、ロビンソン流の超実数として定義する必要がある。
その準備の下では、dx や dy は微小量を値に持つ普通の関数で、dy/dx は普通の割り算になる。

それとは全く別のアプローチとして、f(x) を df(x) へ移す写像 d を、関数空間から
「微分形式」という名の何だかよくわからないがともかくひとつの線型空間への
積の微分公式を満たすような線型写像 として導入するという手もある。
この方法では、dx や dy は、その何だかわからない線型空間の基底ベクトルのひとつ
という位置付けになる。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/24 10:57

#2訂正

dx,dyは微小な変化量（増加量)を意味します
x=tanyのグラフ上の点(y,x)における接線の傾きが1/cos²y です
ｘの増加量=（点(y,x)における接線の傾き）x（yの増加量）ですが
これに倣って、点(y,x)からy座標が微小量dyだけ増えたときのｘ座標の微小増加量が
dx=(1/cos²y)・dy です

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/24 10:55

dx,dyは微小な変化量（増加量)を意味します

x=tanyのグラフ上の点(y,x)における接線の傾きが1/cos²y です
ｘの増加量=（点(x,y)における接線の傾き）x（yの増加量）ですが
これに倣って、点(x,y)からy座標が微小量dyだけ増えたときのｘ座標の微小増加量が
dx=(1/cos²y)・dy です

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/24 10:38

微分の記法としては

dx/dy=1/(cosy)^2

のほうがいいかな。
dx/dyは、「関数xを変数yで微分」という意味になる。
dxをdyで割るのではなく、dx/dyという一括りで表記する。

置換積分では、変数置換の過程で便宜上dx=1/(cosy)^2 dyという書き方もするし、
大学数学ではdx, dyを独立変数として扱う微分の定義もあるけど、高校では扱わない。