三次関数 点A(2、a)を通って、曲線y=x^３-３xに三本の接線が引けるようなaの値を求めよ 少し

三次関数

点A(2、a)を通って、曲線y=x^３-３xに三本の接線が引けるようなaの値を求めよ

少し飛躍します

なぜ「a=-2t^3+6t^2-6」の解が3つあると接線も3つあるんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/03 04:13

曲線y=x^3-3xに対して

y'=3x^2-3
だから
x=tでの曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t^2-1)(x-t)+t^3-3t
y=3(t^2-1)x-2t^3
が
(2,a)を通るから(x=2,y=a)とすると
a=6(t^2-1)-2t^3

a=-2t^3+6t^2-6

a'=-6t^2+12t=-6t(t-2)
a(0)=-6<0
a(2)=-16+24-6=2>0
-6<a<2のとき

a=-2t^3+6t^2-6
の解が
t1<0<t2<2<t3
となるような
t1,t2,t3
の3つある
接線も

x=t1での曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t1^2-1)x-2t1^3

x=t2での曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t2^2-1)x-2t2^3

x=t3での曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t3^2-1)x-2t3^3

の3つある

No.1 回答者： Dr.Field 回答日時： 2023/07/02 18:03

曲線 y＝x^3－３x において、

y'＝３x^2－３ より、
曲線上の点Ｔ（t、t^3－３t）における接線は
y＝(３t^2－３)(x－t)＋(t^3－３t)
y＝(３t^2－３)x－２t^3・・・①

これが点Ａ(２、ａ)を通るので、
a＝(３t^2－３)×２－２t^3＝－t^3＋６t^2－６
da/dt＝－３t^2＋１２t＝－３t(t－４)

増減表
t　　　　　　０　　　４
da/dt　　－　０　＋　０　＋
a　　　　↓　-6 ↑　26　↓
（縦軸をa、横軸をtとして、グラフをご自分で書いてみてください。）

故に、－６＜a＜２６の範囲であれば、
a＝－t^3＋６t^2－６ の方程式においてtの解は３つあることになる。
逆に、tが３つあるということは、接線の式①において、傾きとy切片が異なる３つの式が存在することを意味するので、接線は３本あることとなる。