No.2ベストアンサー
- 回答日時:
曲線y=x^3-3xに対して
y'=3x^2-3
だから
x=tでの曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t^2-1)(x-t)+t^3-3t
y=3(t^2-1)x-2t^3
が
(2,a)を通るから(x=2,y=a)とすると
a=6(t^2-1)-2t^3
a=-2t^3+6t^2-6
a'=-6t^2+12t=-6t(t-2)
a(0)=-6<0
a(2)=-16+24-6=2>0
-6<a<2のとき
a=-2t^3+6t^2-6
の解が
t1<0<t2<2<t3
となるような
t1,t2,t3
の3つある
接線も
x=t1での曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t1^2-1)x-2t1^3
x=t2での曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t2^2-1)x-2t2^3
x=t3での曲線y=x^3-3xの接線
y=3(t3^2-1)x-2t3^3
の3つある
No.1
- 回答日時:
曲線 y=x^3-3x において、
y'=3x^2-3 より、
曲線上の点T(t、t^3-3t)における接線は
y=(3t^2-3)(x-t)+(t^3-3t)
y=(3t^2-3)x-2t^3・・・①
これが点A(2、a)を通るので、
a=(3t^2-3)×2-2t^3=-t^3+6t^2-6
da/dt=-3t^2+12t=-3t(t-4)
増減表
t 0 4
da/dt - 0 + 0 +
a ↓ -6 ↑ 26 ↓
(縦軸をa、横軸をtとして、グラフをご自分で書いてみてください。)
故に、-6<a<26の範囲であれば、
a=-t^3+6t^2-6 の方程式においてtの解は3つあることになる。
逆に、tが3つあるということは、接線の式①において、傾きとy切片が異なる3つの式が存在することを意味するので、接線は3本あることとなる。
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