全微分について質問です。 z=f(x,y)のとき df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy ∂f

全微分について質問です。
z=f(x,y)のとき df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
∂f/∂xはyが固定 ∂f/∂yはxが固定だと思うのですが、全てzで固定して考えると
∂f/∂xはzが固定 ∂f/∂yはzが固定なので
0= (∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy という操作をしても問題ないのですか？
yならdf= (∂f/∂x)dx

質問者からの補足コメント

• 面積要素ベクトルをdydzで表すと
  dS↑=(∂r↑/∂y×∂r↑/∂z)dydz r↑=(x,y,f(x,y))
  z = f(x,y)とおくと dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
  面積要素ベクトルの∂r↑/∂yはzを固定してるので
  全微分の式よりdz=0
  0=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy⇔ ∂x/∂y = -(∂f/∂y)/(∂f/∂x)
  面積要素ベクトルの∂r↑/∂zはyを固定してるので
  全微分の式よりdy=0
  dz= (∂f/∂x)dx⇔ ∂x/∂z = 1/(∂f/∂x)
  この計算がよく分かりません

    補足日時：2023/02/24 15:40

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/24 13:54

1.

全微分を
　df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy・・・・①
という場合、 fの接平面を示している。つまり
　z-z₀=(∂f/∂x)₀(x-x₀)+(∂f/∂y)₀(y-y₀)
を形式的に①で表している。

勿論、微小変化による fの変化という意味合いはある。

2.
　0= (∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
これも何を意味するかであるが、x,yが変化したとき、zの変化が
無い x,yの関係。例えば、0=f(x,y)とすると、y=φ(x)なる陰関
数が存在し、
　(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(dy/dx)=0
を表している。

3.
yが定数なら①は単に
　∂f/∂x= (∂f/∂x)
を示しているだけ。


なお、①は普通の数学だが、数学では普通使われない。
このため、物理では説明もなく、なんとなく使われている。

#2の注意。
>f(x,y)が偏微分できるとき、　ｚ＝ｇ(x)h(y)　と分離できる。<
●まさか。

>0= (∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy　が正しいなら<
●当然、変数分離しなくても df=0 で、以下の議論の余地は無い。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/24 18:27

＞ 面積要素ベクトルをdydzで表すと

＞ dS↑=(∂r↑/∂y×∂r↑/∂z)dydz　r↑=(x,y,f(x,y))

曲面 (x,y,f(x,y)) の面積を積分しようというなら、
面積要素は dydz じゃなく dxdy でないとちょっとマズイことが起こる。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/24 16:17

解答を無視して、新たに関係があるか不明な質問をする意図は

何?

なお、
>dS↑=(∂r↑/∂y×∂r↑/∂z)dydz r↑=(x,y,f(x,y))<
●違う。r↑=(g(y,z),y,z)

それ以降の記述は意味不明。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/24 14:34

z=f(x,y) の z を固定して考えるのであれば、

この式は xy 平面上のとある曲線を表している。
それを、曲面 z=f(x,y) の「等高線」と呼ぶ。
この等高線を表す微分方程式が、あなたの得た
0 = (∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy である。

「操作をしても問題ない」という言葉の意味は判らない。
何が問題で何は問題ないと考えているのかが不明だ。

末行は、文が途切れてしまっているが、
z=f(x,y) の y を固定したのであれば、それは要するに
曲面 z=f(x,y) を xz平面と平行なとある平面で切った
断面を考えていることになる。
式が表す曲線は、x から z へ
ただの一変数関数のグラフだから、
傾きは df/dx = ∂f/∂x になるだけの話。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/24 11:41

何言っているかほとんど解らない。

固定？ 操作？ yなら？

異世界の数学？