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A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
歴史的にはどうなのか知らんですが、工学的には色々なところに繋がってます。
線形電気回路や古典制御理論で自然に出てくる「n次遅れ系」(同じ「1次遅れ系」をn段直列接続したもの)はラプラス変換が
1/((s + a)^n)
と書けるので、時間応答関数はその逆ラプラス変換で、
(t^(n-1)) e^(-at)/n! (t>0)
となり、n→∞ではデルタ関数に収束する。
これをもうちょっと一般化して
f(K, a, b, t) = K(t^b) e^(-at)
を考えると、「多項式(t^b)で増えていく効果とe^(-at)で抑え込む効果のせめぎ合い」という性質を素直に表している。また、微分方程式
df/dt = (b/t - a) f
を満たし、また対数変換すると
log(f) = log(K) + b log(t) - at
だから、パラメータ(a, b, log(K))の一次式になる。
経験的に、この曲線fは、いろんな系で見られる「始めはぐんぐん増えて、やがて指数関数的に減ってくる」という傾向を持つ実験データに(必ずしも「n次遅れ系」とは想定できないような場合でも)しばしばよくフィットする。そうなれば、曲線の形をわずか3つのパラメータに集約できるのはとても効率的。
さて、そういう実験結果の解析や、応用設計を行うに当たって、この関数の定積分の値
∫{0〜T} f(K, a, b, t) dt
が欲しくなることはしばしばある。変数変換して
∫{0~T} f(K, a, b, t) dt = (K / (a^b)) γ(b, aT)
γ(b, T) = ∫{0~T} (t^b) (e^(-t)) dt
まではいいけど、この積分γは初等関数では書けない。(不完全ガンマ関数)
ところで、T→∞ の場合に限定して
Γ(b) = γ(b, ∞)
と書くと、これが関数方程式
b Γ(b) = Γ(b + 1)
を満たすことはすぐわかる。
二項分布を連続化した
B(a, b) = ∫{0〜1)(x^(a - 1))((1 - x)^(b - 1)) dx
が
B(a, b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a + b)
となることも易しい(ベータ関数)。
No.1
- 回答日時:
Γ(x) = ∫[0,∞] {t^(x-1)}{e^-t} dt と定義すると、
部分積分によって
Γ(x+1) = ∫[0,∞] {t^x}{e^-t} dt
= [ {t^x}{-e^-t} ]_{t=0,∞} - ∫[0,∞] {x・t^(x-1)}{-e^-t} dt
= 0 + x∫[0,∞] {t^(x-1)}{e^-t} dt
= x Γ(x).
それと
Γ(1) = ∫[0,∞] {t^0}{e^-t} dt
= [ -e^-t ]_{t=0,∞}
= lim[t→∞] -e^-t - (-e^-0)
= 0 - (-1)
= 1.
より、 n が自然数のとき
Γ(n) = (n-1)! が帰納的に示される。
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