問1が(√(1+sinx))/(√(1-sinx))dxの積分 (x:0からTまで(0<=T<π/2

問1が(√(1+sinx))/(√(1-sinx))dxの積分 (x:0からTまで(0<=T<π/2))をしろという問題で積分すると、-log(1-sinT)になりました。

問2が
(√(1+sinx))/((1-sinx)^a)dxの積分 (x:0からπ/2)が収束するようなaの範囲を求め、その時の広義積分を求めよ。どうやって解けばいいでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/16 15:27

∫_{0～π/2-0}{√(1+sinx)}/{(1-sinx)^a}dx

√(1+sinx)}/{(1-sinx)^a}=cosx/(1-sinx)^{a+(1/2)}だから

=∫_{0～π/2-0}[cosx/(1-sinx)^{a+(1/2)}]dx

t=1-sinxとすると
t=1～+0
dt=-cosxdxだから

=∫_{1～+0}[-t^{-a-(1/2)}]dt

a=1/2の時
=∫_{1～+0}(-1/t)dt
=[-logt]_{1～+0}
=∞

a>1/2の時
=[2/{(2a-1)t^(a-1/2)}]_{1～+0}
=∞

a<1/2の時
=[2t^{(1/2)-a}/(2a-1)]_{1～+0}
=2/(1-2a)

∴
a<1/2
の時
2/(1-2a)