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フーリエ級数の問題で、f(x)は関数|x|(-π<x<π)で同期2πで拡張したものとする。f(x)のフーリエ級数を求めよという問題が分かりません。

b_n(下付き文字)が0になるのは分かるんですが、a_nはどうなるのでしょうか?

A 回答 (1件)

 定義式にf(x)を入れて、偶関数の積分を行えば求められます。



a_n=(1/π) ∫[-π→π] |x| cos(nx) dx  ただし、n≠0
  =(2/π) ∫[0→π] x cos(nx) dx
  ={2/(n^2 π)} { (-1)^n -1 }
  =-4/(n^2 π)  (n:奇数)、 0 (n:偶数)

∴ a_(2n)=0(n≠0)、 a_(2n-1)=-4/{(2n-1)^2 π}

a_0=(1/π) ∫[-π→π] |x| ・1 dx
 =(2/π) ∫[0→π] x dx
 =π
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2010/02/10 00:45

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Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Qf(x)=|sinx| のフーリエ展開がわかりませ

【問題】周期2πにおいて

f(x)=|sinx| のフーリエ展開
のやり方や回答を教えてください。

Aベストアンサー

sin(x)は周期2πの奇関数ですが
f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。

従って
>【問題】周期2πにおいて
は周期2πではなく、周期(基本)周期TはT=πと考えられます。

なのでf(x)は基本周期T=πでフーリエ級数展開

f(x)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + Σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox)
(ただし wo=2π/T=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。)

と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので

 b[n]=0 (n,1,2, ... )
 f(t)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox)

と展開されます。展開係数は

 a[0]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|dx=(4/π)∫(0,π/2) sin(x)dx=4/π
 a[n]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|cos(nwox)dx
   =(4/π)∫(0,π/2) sin(x)cos(2nx)dx
   =(2/π)∫(0,π/2) {sin((2n+1)x)-sin((2n-1)x)}dx
   =-4/{π(4n^2-1)} (n=1,2, ... )

となります。

sin(x)は周期2πの奇関数ですが
f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。

従って
>【問題】周期2πにおいて
は周期2πではなく、周期(基本)周期TはT=πと考えられます。

なのでf(x)は基本周期T=πでフーリエ級数展開

f(x)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + Σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox)
(ただし wo=2π/T=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。)

と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので

 b[n]=0 (n,1,2, ... )
 f(t)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox)

と展開されます。展開係数は

 a[0]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|...続きを読む

Qフーリエ級数の求め方。

フーリエ級数展開の問題で
[-π,π]の区間で|sin(t)|をフーリエ級数展開せよ。という問題です。
公式に当てはめて

a_0 = (1/π)*∫[-π,π] |sin(t)| dtとなって、まずこれを
=(2/π)*∫[0,π] sin(t) dtと直せますか?
絶対値がついているのでsin(t)は、π周期になってるのでこう直せると思ったんですが。

次にa_nを求めるのに
a_n=(1/π) * ∫[-π,π] (|sin(t)| * cos(nt)) dt
これも
=(2/π)*∫[0,π] sin(t) * cos(nt) dtとしてしまって問題ないですか?
あとこの積分は
部分積分や三角関数の積和の公式を使って解けばいいのでしょうか?
フーリエ級数について勉強を始めたばかりで自信がなくて細かいことを聞いてしまって
申し訳ありませんがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

f(x)=a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}
∫[-π,π]f(x)dx=
∫[-π,π][a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}dx
= ∫[-π,π][a_0/2]dx=2π[a_0/2]
だから
[a_0/2]=(1/2π)*∫[-π,π]f(x)dx
または、
[a_0]=(1/π)*∫[-π,π]f(x)dx
ということですね。
同様に
∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx=
=Σ∫[-π,π]{a_n*cos^2(nx)]dx
=Σ[a_n]∫[-π,π]cos^2(nx)dx
=Σ[a_n]∫[-π,π][(1+cos2nx)/2}dx
=Σ[a_n][1/2}∫[-π,π]dx
=Σ[a_n][1/2}2π
[a_n/2]=(1/2π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
または
[a_n]=(1/π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
ということなのです。フーリエ級数展開はsin, cos関数やそれらとの直行関数との積関数を一区間で積分すると必ずゼロになるという性質を使っているのですね。
ということで|sint|は一区間で偶関数、sin(n)t が奇関数だから積は奇関数になり、
b_n=(1/π)*∫[-π,π] |sin(t)|*sin(n)t dt=0
になりますね。要するに左右がプラスマイナスで打ち消すということですね。
こんなところでいいかな。それからtは物理では時間なので変数として使う場合は注意がいりますね。

f(x)=a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}
∫[-π,π]f(x)dx=
∫[-π,π][a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}dx
= ∫[-π,π][a_0/2]dx=2π[a_0/2]
だから
[a_0/2]=(1/2π)*∫[-π,π]f(x)dx
または、
[a_0]=(1/π)*∫[-π,π]f(x)dx
ということですね。
同様に
∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx=
=Σ∫[-π,π]{a_n*cos^2(nx)]dx
=Σ[a_n]∫[-π,π]cos^2(nx)dx
=Σ[a_n]∫[-π,π][(1+cos2nx)/2}dx
=Σ[a_n][1/2}∫[-π,π]dx
=Σ[a_n][1/2}2π
[a_n/2]=(1/2π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
または
[a_n]=(1/π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
ということなの...続きを読む

Q無限級数をフーリエ級数で計算する

 1+ 1/(3^2)+ 1/(5^2)+ 1/(7^2)....=(π^2)/8 をフーリエ級数を使って求めようとしています。
 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/series/series.htm
 このサイトに解き方が書いてありますが、上の級数での場合のF(X)がわかりません。どなたか教えてもらえませんか?

Aベストアンサー

>私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると 
>X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、
>そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
>そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?


もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか?
  X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
ではないですよね?
なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数ですよ。
そうではなくてX^2の展開はフーリエ級数の基本に忠実に計算して、
  X^2=1/(3)*π^2 +4(cos(X)/(1^2) +cos(2X)/(2^2) + cos(3X)/(3^2)....
です。これは参考urlにも書いてあります。
右辺にもXが含まれていて、関数X^2が右辺では三角関数(cos(nX))の和で表されていることがわかります。

ここまでは純粋にフーリエ級数の話で、ζ関数はまだ出てきていません。

ここで先ほど展開した式にX=πを代入するのがポイントなんですね。
普通に両辺にX=πを代入するだけです。
代入すると
  π^2 = 1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
になりますね。
このとき4で括られた括弧の中が偶然にもζ(2)と同じ形をしているんですね。
ですから右辺を書き換えて
  π^2 = 1/(3)*π^2 +4*ζ(2)
ここから、ζ(2)=...の形に式を整理すれば
  ξ(2)=(1/6)π^2
が示されます。

全てF(X)=X^2で良いうことですか?というのはよく意味がわからないんですが、
おそらくζ(4)の値を求めるときにはF(X)=X^4としてF(X)をフーリエ展開するんだと思いますよ。

>私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると 
>X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、
>そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
>そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?


もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか?
  X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
ではないですよね?
なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数...続きを読む

Qフーリエ級数|cosx|

f(x)=|cosx|
をフーリエ級数で近似したいのですがa0、ak、bkがずべて0になってしまうのですが・・・
この関数はフーリエ級数で近似できないのですか?

Aベストアンサー

> 答えは
> 2/π +(4cos2x)/3π -4cos4x/15π+・・・+(4cos2nx×(-1)^(n+1))/(4n^2-1)π+・・・・
> でよいでしょうか?

そうだと思います.

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Qフーリエ変換の問題

f(x)のフーリエ変換F(x)は

F(x)=∫[-∞,∞]f(x)exp(-iωx)dx

で表される。次の関数のフーリエ変換を求めよ。

a>0として、 f(x)={0 (x>0 )
           {-exp(ax) (x<=0)

という問題があります。

私は

F(x)=(iω-a)^(-1)[exp(a-iω)x](-∞→0)までやりました。

ここで、ちょっとわからないところがあります。

exp((a-iω)x)の値はx=0のときは1ですよね。
でも、x=-∞のときは、どうすればいいかわからなくなりました。

普通なら、exp(ax)=0ですよね。a>0(つまりaは0より大きければ),x=-∞なら
ですが、a-iωは虚数であって0と比べられないですよね。ちょっとここでつまづいて...

問題の答えをみればexp((a-iω)x)=0 (x=-∞)って書いてありますけど、なぜそうなるか書いてないです。

ご指導お願いします!

Aベストアンサー

指数法則により
exp{(a-iω)x}=exp(ax)*exp(-iωx)
となります。

ωxが実数の時、|exp(-iωx)|=1 となります。ですので
0<|exp{(a-iω)x}|=|exp(ax)|*|exp(-iωx)|=exp(ax)*1=exp(ax)
となります。
x→-∞とするとexp(ax)→0 (a>0の場合) となりますのではさみうちの定理により
|exp{(a-iω)x}|→0 となります。

Qeのマイナス無限大乗

lim(t→∞) 1-e^(-t/T)
T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
数学的に1になる理由が分かりません。

e^(-∞)=0になる理由を数学的に教えてください。

Aベストアンサー

e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
だから


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