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質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。
回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

質問者からの補足コメント

  • ∫a^2dmということでしょうか?

      補足日時:2018/07/09 12:05

A 回答 (2件)

No.1です。

「求め方」も書いておきます。

>∫a^2dmということでしょうか?

基本はそういうことです。

微小体積の質量 dm は、針金の長さ dL として、線密度が ρ = m/(2パイa) なので、
 dm = [m/(2パイa)]dL   ①
ここで、円環の微小中心角 dθ をとれば
 dL = a*dθ
なので、①は
 dm = [m/(2パイa)]dL = [m/(2パイa)]*a*dθ = [m/(2パイ)]dθ

これを質点とみなしたときの慣性モーメントは
 dI = dm * a^2 = [ma^2/(2パイ)]dθ
なので、円環全体の慣性モーメントはこれを θ について積分すればよいのです。

積分範囲は 0→2パイ ですから
 I = ∫[0→2パイ][ma^2/(2パイ)]dθ = [ma^2/(2パイ)]∫[0→2パイ]dθ
  = [ma^2/(2パイ)] * 2パイ
  = ma^2
です。
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この回答へのお礼

めっちゃわかりやすいです!ありがとうございます!

お礼日時:2018/07/09 13:57

「円板」ではなく「円環」ですね? 円環の厚さ(半径方向、軸方向)は考えますか?


もしこの厚さを考えなければ、円環は「質点が円周上に連続したもの」ということです。「半径 a 」の針金で、「針金の径が非常に小さい(非常に細い針金)」というものをイメージしてください。
この「物体のイメージ」ができていないことには始まりません。

>回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

ということでは、「慣性モーメント」以前に「物体のイメージが描けない」ということですから。


すべてのベースとして、「質点」の慣性モーメントは分かりますか?
 I = mr^2
です。
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
http://eman-physics.net/dynamics/angular.html

「円環」は、単にこの「質点」を円周上に連続的に分布させただけなので、質点の慣性モーメントと同じです。
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