No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No1の方の厳しいご指導の方針に逆らうようですが、
dxdydz → rdrdφdz
となる理由、要するに、円筒座標系で r が余計に掛かる理由については、簡単に説明できます。
変換前の座標系をxyzとすると、dxdydzは、微小体積を意味します。
変換後の座標系をξηζとして、次の2つの条件が成り立つとき、微小体積は、やはりdξdηdζとなります。
(1)ξηζも直交座標系である。
(2)座標軸に伸縮がない。(xyz→ξηζの変換は、座標回転と座標移動だけで表現できる。)
(もしあれば、伸縮倍率を掛ければ良い。)
(上記(1)(2)が成り立てば、dxdydz=dξdηdζ となることは、自分で確認しましょう。)
今の場合、円筒座標系は立派な直交座標系ですから、(1)の条件は満足します。
(2)の伸縮は?
結論を先に示しましょう。
ひとまず、
ξ=r, η=s, ζ=z(sは円弧に沿った長さで、s=rφ)
と対応させれば、伸縮は生じません。
これは、次のように考えていけばわかります。
まず、z→zの対応においては、当然伸縮はありません。
x→rの対応においても、両方とも長さの次元を持つ量であって、伸縮はありません。(x軸とr軸が一致しているとき、目盛りは一緒!)
残るyですが、対応するφとは次元が異なります。(yは長さ、φは無次元)
そこで、yにはいったん角度φではなくて、円弧に沿う長さsを対応させるのです。すると、x→rの関係と同レベルの話になって、伸縮が生じないことがわかります。
要するに、微小体積は、
変換前dxdydz → 変換後 drdsdz
となります。
ds=rdφ+θdrとなりますが、sは円弧に沿う長さなのでdr=0であり、
ds=rdφ
すなわち、
変換前dxdydz → 変換後 dr(rdφ)dz
となってrが出てくるわけです。
円筒座標系の偏微分の式などにおいては、φに関係する所でやたらとrが関わって来るのですが、まずdφではなくて、dsで表示し、その後これをrdφで置き換えれば簡単に理解できるケースが半分です。
なお、余談ですが、CAEが流行し始めてからというもの、デカルト座標系を直交座標系と呼ぶ”誤った呼び方”が普及してしまい、困ったものだと思っています。
デカルト座標系の正しい日本語訳は、直角座標系です。
No.2
- 回答日時:
大変申し訳ありませんが、導出まではお教えできません。
なぜなら、それは今後も理解して置かねば先に進めない基本事項だからです。ここをおろそかにすると、たとえば2階微分が出てきたら、またお手上げになります。「円筒座標 微分」などでネット検索して、分かりそうなページを探し、式の変形を書き写しながら、どうしてrが出てくるか、考えてください。おそらく極座標にも出くわすと思いますが、似ています。ここでもご自身で導出を理解することが必要です。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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