Bの(5)は解説にはZ座標が一致しているのでz=x^2+y^2を π0の式に代入して計算してます。

Bの(5)は解説にはZ座標が一致しているのでz=x^2+y^2を
π0の式に代入して計算してます。
π0とSの交線では、両者のZ座標が一致とはどういうことなのでしょうか？

GeoGebraでπ0の平面とSの関数を入れてみたところ確かにXY平面への正射影は円になってました。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/14 18:29

＞ Cが[2]の1部ではなく全体になるというのはどういうことでしょうか？

C が(π0 と S の交線)の xy平面への正射影だというのは、
π0 と S の交線上の点 (x,y,z) に対して点 (x,y) が C 上にあり、かつ、　　　←[1]
C 上の点 (x,y) に対して実数 z があって (x,y,z) がπ0 と S の交線上にある　←[2]
...ということ。

x^2 + y^2 = z と 2x + 2y = z から x^2 + y^2 = 2x + 2y を導いただけでは
[1] を言ったことにしかならないから、[2] にあたる記述が必要だって話。

例えば、同じ問題で C の代わりに C’: (x^2 + y^2 - 2x - 2y)(x - y) = 0 をもってくると、
x^2 + y^2 = z と 2x + 2y = z を満たす (x,y,z) は C’ も満たすけれど、
C’ を満たす (x,y) = (10,10) を x^2 + y^2 = z と 2x + 2y = z へ代入すると
200 = z かつ 40 = z となってそのような z は存在しない。
このとき、x^2 + y^2 = かつ 2x + 2y = z の xy平面への射影は
C’ の一部分だけをなし、C’ 全体にはなっていない。

この回答へのお礼

実例を交えていただきありがとうございます、理解に近づきました。 私としては少し難しい話でしたがこれから問題を解いていく上で意識しながら解いていきたいと思います。長々と付き合いして頂きありがとうございます。

お礼日時：2023/04/14 19:15

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/14 14:34

zは一致していて連立して解ける。

その結果、y=y(x)が得られ
順次　z=z(x), x=x(x) となり、交点はxのみの関数、つまり
曲線となる。

この回答へのお礼

なるほど、分かりました。
ありがとうございました！
問題文からもっと読み取れるように精進します

お礼日時：2023/04/14 16:49

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/14 13:58

(5)

g(x,y,z) = x^2 + y^2 - z と置く。 S の式は g(x,y,z) = 0.
π と π0 の法線ベクトルは、∇g = (2x,2y,-1) の (x,y,z) = (1,1,2) での値 (2,2,-1).
よって π0 の式は、2(x-0) + 2(y-0) + (-1)(z-0) = 0. すなわち、2x + 2y = z.
π0 と S の交線は、 x^2 + y^2 - z = 0 と 2x + 2y = z を連立したもの。　←[1]
この曲線上では、 x^2 + y^2 = 2x + 2y が成り立つ。　←[2]

逆に [2] が成り立つとき、[1] を満たす (x,y,z) が存在するから、
[1] の xy平面への正射影は [2] だと言ってよい。
↑ C が [2] の一部でなく全体になると言うために、この記述は必要。

[2] ⇔ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2. これは、円だね。

この回答へのお礼

π0とSの交線ということは2変数で表される平面上の関数(?)だからzが同じということなのでしょうか？
(あくまでも線というイメージ？、3次元では無いということ?)

またCが[2]の1部ではなく全体になるというのはどういうことでしょうか？

お礼日時：2023/04/14 14:08

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/14 13:54

S:　G(x,y,z)=x²+y²-z=0

とすると、
　Gx(1,1,2)=2, Gy(1,1,2)=2, Gz(1,1,2)=-1
だから
　π:　2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0
　π₀: 2x+2y-z=0

これに、S: z=x²+y² を入れてzを消すと
　C:　2x+2y-(x²+y²)=0 → (x-1)+(y-1)²=2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
交線だから2次元の話だからzは一致していて連立して解けるということでしょうか？

お礼日時：2023/04/14 14:10