不偏分散について

統計学を勉強しております。
下記にて定義される不偏分散s^2について、 その期待値が母分散σ^2と一致するという性質を確かめるため、ごく簡単な実例を用いて計算してみたのですが、なぜか一致しませんでした。自分の計算過程のどこが誤っているか、ご指摘いただけませんでしょうか。
s^2 = (1/n-1)Σ(Xi - Xバー)^2　※Xバーは標本平均
E[s^2] = σ^2

実例の前提：整数1,2,3からなる母集団から、無作為に2つの整数を標本として抽出し、その標本平均、不偏分散を計算したのち、E[s^2] = σ^2が成立することを確かめる。それぞれの整数は同様の確からしさで抽出されるものとする。
したがって、標本の場合の数は3C2で3通り、いずれも1/3の確率で生じる。

母平均：(1+2+3)/3 = 2、母分散σ^2 = ((1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 )/3 = 0.67

1. 抽出された整数が1,2の場合
標本平均Xバー = (1+2)/2 = 1.5、不偏分散s^2 = (1/(2-1)) × ((1-1.5)^2 + (2-1.5)^2)) = 0.5

2. 抽出された整数が1,3の場合
標本平均Xバー = (1+3)/2 = 2、不偏分散s^2 = (1/(2-1)) × ((1-2)^2 + (3-2)^2)) = 2

3. 抽出された整数が2,3の場合
標本平均Xバー = (2+3)/2 = 2.5、不偏分散s^2 = (1/(2-1)) × ((2-2.5)^2 + (3-2.5)^2)) = 0.5

E[s^2] = (1/3) × (0.5 + 2 + 0.5 ) = 1 ≠ 0.67(σ^2)

何か大事な前提を誤解しているような気もします。
ご指導、ご鞭撻のほど、どうぞ宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 

  皆様ご回答ありがとうございました。
  おかげさまで、私の考えた例が、非復元抽出を前提にしてしまっていた点が問題であることが分かりました。
  
  しかしそうしますと次なる疑問として、非復元抽出を前提にした場合は不偏分散の期待値がなぜ母分散と一致しないのでしょうか。
  
  下記リンクを参考に、不偏分散の期待値が母分散と一致することの証明を理解した気になっていたのですが、この証明の中のどこかに、「復元抽出である」という条件が盛り込まれているのでしょうか。
  https://bellcurve.jp/statistics/course/14987.html
  
  どうぞ宜しくお願い致します。

    補足日時：2022/03/29 22:25

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/29 22:46

No.2 です。

「補足」について。

＞この証明の中のどこかに、「復元抽出である」という条件が盛り込まれているのでしょうか。

そこでは、暗黙のうちに「母集団の要素数は無限大である」という前提があります。
いくつ標本を採取しても、母集団の母数（平均、分散など）は変化しないのです。

質問者さんが考えた「要素数が3つの母集団」で「非復元抽出」をすれば、1個目を抽出するときの母数と、2個目を抽出するときの母数は変化しているのです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変よく分かりました。
最後までお付き合いいただきまして、誠にありがとうございました。

お礼日時：2022/03/30 10:17

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/29 17:22

＞整数1,2,3からなる母集団から、無作為に2つの整数を標本として抽出し、

という段階で、「繰り返しを許して」という条件にしないと、母集団の特性を正しく推定できないのではありませんか？

標本サイズ（抽出回数）を「3回」「4回」・・・「n 回」とする場合もあり得ますから。

そうすれば
(1, 2) 確率 2/9
(1, 3) 確率 2/9
(2, 3) 確率 2/9
(1, 1) 確率 1/9
(2, 2) 確率 1/9
(3, 3) 確率 1/9
ということになりませんか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。おかげさまで自分の前提のどこが誤っているのか特定することができました。
もしお時間がございましたら、補足をご覧いただけますと幸いです。
引き続き、どうぞよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/03/29 22:26

No.1 回答者： qas2021 回答日時： 2022/03/29 17:10

非復元抽出をしているところが原因です。

復元抽出をしてください。
1, 1
2, 2
3, 3
も計算に入れる必要があります。

注意喚起をしておくと、上記の3通りは
1, 2
1, 3
2, 3
と同じ確率ではありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。おかげさまで自分の前提のどこが誤っているのか特定することができました。
もしお時間がございましたら、補足をご覧いただけますと幸いです。
引き続き、どうぞよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/03/29 22:26