お世話になっております。
統計学初心者で、母平均の信頼区間の推定について勉強しています。
勉強している中で、標本分散が母分散より少し小さくなるということ、
そのため標本分散ではなく不偏分散を利用し、不偏分散の算出は偏差平方和、サンプルサイズから1引いたもので割ることを勉強しました。
しかし標本分散が母分散より少し小さくなる理由、そして、そのために不偏分散の算出においてn-1でわる理由が分かりませんでした。
わかりやすい形で教えて頂けないでしょうか?
どうぞよろしくお願い申し上げます。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
数式ではなく、言葉で説明したいと思います。
母分散というのは、たとえば、学校で試験を受けた生徒全員の点数の分散に適用されます。(生徒の数=n)
この場合は、母平均がわかります。
ところが、一部の生徒だけの点数だけを取り出して、その分散を求める場合は、
それらの生徒の平均値(標本平均)はわかりますが、母平均は、わかりません。
つまり、前者に比べて、後者のほうが、真の平均値(母平均)がわからない分だけ、
情報量がn個より1個少ないことになります。
これを「自由度」が1個少ない、と言います。
後者の場合で、分母をn-1にすることにより、(分母をnにしたときよりも)分散を多く見積もらなければいけないのは、そういう理由によるのです。
別の言い方をすれば、
真の平均値(母平均)がわからない標本抽出の統計では、
1/nをかける計算方法で分散を求めてしまうと、ずるく小さい分散になってしまうので、
分母をn-1にすることによって分散値を大きい方に補正して、そのハンデが解消されてフェアな状況になるのです。
標本分散が母分散より少し小さくなる理由について
もう少し細かい話もしますね。
分散を計算するときには、1/nをかけるか1/(n-1)をかけるかはさておき、
Σ の部分は、
Σ(各データ値 - 平均値)^2
という計算をしますよね。
A
標本分散のΣの計算の仕方は、 Σ(標本の各データ値 - 標本の平均値)^2
B
母分散のΣの計算の仕方は、 Σ(母集団の各データ値 - 母集団の平均値)^2
です。
実は、Σの値は、計算対象のデータ自身の平均値を用いて計算された場合に最小(極小)になります。
(説明を省きますが、最小二乗法と同様の考え方です。)
極端な例を挙げれば、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5 という5個のデータがあるとき、
「平均値」を1万としてΣを計算したことをイメージすれば、直感的に理解できるかと思います。
ですから、上記のAの計算で、もしも平均値として標本平均の代わりに母平均を採用したとすれば、
Σの計算結果は少し大きくなります。
逆に言えば、抽出した標本データだけから求まる標本平均を使うと、
Σが最も小さく抑えられる(=ずるい)ということです。
以上、ご参考になりましたら。
No.2
- 回答日時:
> 標本分散が母分散より少し小さくなる理由
数式による説明を理解するしかありません。実務的には「サンプルサイズが小さいときにnで割ってしまうと"不偏分散よりも(不偏分散であっても、母分散より小さめに出ることがあります)"小さめの値が出てしまう」ということを理解しておけば良いです。
> 不偏分散の算出においてn-1でわる理由
これも同様。内容を理解したいのであれば数式を理解するしかありません。実務的には「1つの母数を推定することによって1つの自由度を失うため」ということを理解しておけば問題ありません。
自分にとってどれ程の理解が必要か、あるレベルの理解を得るためにどれ程の力を注ぐ必要があるか、これらを考えることが重要ですね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
都道府県穴埋めゲーム
都道府県の名前を1人1つずつ投稿してください。全ての都道府県が出たら締め切ります!
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
母分散と標本分散の違い
数学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
統計学における有効数字につい...
-
工程能力のN数補正について
-
サンプル数が1とサンプル数が...
-
標準偏差について
-
標本分散が母分散より少し小さ...
-
3者見積の異常値
-
標本分散と不偏分散
-
一様分布について
-
標本分散と不偏分散の使い分け...
-
標本分散の合併について
-
不偏分散を計算するときに標準...
-
標準偏差を表す記号
-
自由度及び平均平方について(...
-
分散の計算で平方和をnではなく...
-
数学の問題です。 問1: ある(...
-
答えがあわない>< 標本標準...
-
信頼区間が求められない。
-
標本の標準偏差・・なんで分母...
-
不偏分散の (n-1)で割る理由、、、
-
エクセルによる母分散の検定
おすすめ情報