統計学の不偏分散のN-1について

統計学の授業で、

(不偏)分散=（Σ（中央値との差）^2）/N-1

と習いました。そして、教授が、なぜ、N-1で割るかについて、
「たとえば1と-1が半々の確率で出る時を考えると、
A 1→1　２５％
B 1→-1　２５％
C -1→1　２５％
D -1→-1　２５％
の場合があり、それぞれの分散が（Nで割る分散で計算すると）
A：０　B：１　C：１　D：０　となるから、平均の分散は0.5になる。しかし、真の値（中央値からの平均距離の二乗）は１のはずだから、分母のNを小さくせねばならない。」
という説明をされました。

しかし、この説明では、たまたま、この一つの具体的な現象において、N-1で割るほうがよりよいと言っているだけであって、他の場合すべてにおいてもより良いことの証明になっていないと思いました。

分散の計算のときにN-1で割ったほうがよいというのは経験則なのでしょうか？それともちゃんと"証明"されていることなのでしょうか？

もし"証明"されているならその証明を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： Ishiwara 回答日時： 2009/04/12 23:31

> 経験則なのでしょうか？それともちゃんと"証明"されていることなのでしょうか？

【答】証明されていることです。
教科書・参考書に載っていることなので、ここで述べるのは勘弁してください。

仮に「母平均が既知で、母分散が未知」で、サンプルから母分散を推定しようとすれば、各データから母平均を引いて、計算をします。この場合はＮを使い、Ｎー１を使う必要はありません。

しかし「母平均」が未知だと、各データから「母平均」を引くわけにはいかないので「標本平均」を引くことになります。コマを回すと、自分の重心のまわりを回るように、「標本平均」の周りの２次モーメント（分散）が必ず最小になるので、このまま母分散を推定すると「過小評価」となります。その過小評価を補正するために、Ｎ/(Ｎー１）を掛けます。

この式から、Ｎ＝１では不偏分散が計算できないことや、Ｎ＝２では、標本分散が不偏分散の半分になることなどが読み取れます。抽象的ですみませんが、このような捉えかたも、どこかできっと役に立ちます。

この回答へのお礼

証明されていることなのですね！
回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/04/16 09:31

No.3 回答者： quaestio 回答日時： 2009/04/11 18:04

> 他の性質を重視するとは、たとえば、参考ＵＲＬに記載されていた、頑強性や有効性のことでしょうか？

そうです。
例えば、正規分布に従うデータから標準偏差を推定する場合に良く使われるのは、
√（不偏分散）
ですが、データに外れ値が含まれていた場合、上の推定量では外れ値に引きずられてしまいます。
そのため、外れ値に引きずられない頑健な標準偏差の推定量として
NIQR(normalized interquartile range) = 0.7413×四分位範囲
が使われることもあります。

> 分散について、Nで割るほうがこの性質を考えるとよい、という性質はあるのでしょうか？

たいていの場合（特にサンプルサイズが小さい場合）、不偏分散を使用する場合が多いでしょう。
再び標準偏差の推定を例にあげますが、上でもでてきた
√不偏分散
は標準偏差の不偏推定量ではありません。
一方、最尤推定量であるNで割った分散は、√をとっても最尤推定量であることに変わりはありません。
この意味でNで割る方がいい場合もあります。

No.2 回答者： quaestio 回答日時： 2009/04/11 12:14

> (不偏)分散=（Σ（中央値との差）^2）/N-1

不偏分散は、中央値ではなく平均値との差で計算します。

> しかし、この説明では、たまたま、この一つの具体的な現象において、N-1で割るほうがよりよいと言っているだけであって、他の場合すべてにおいてもより良いことの証明になっていないと思いました。

おっしゃるとおりで、不偏性を重要視しているので不偏分散を使っているのです。
ですので、当たり前のことですが、不偏性以外を重要視すれば他の推定量を使うことになります。
参考URLもご覧ください。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E5%AE%9A% …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
この場合の「分散」というものが推定量であるということを、あまり理解していませんでした。

他の性質を重視するとは、たとえば、参考ＵＲＬに記載されていた、頑強性や有効性のことでしょうか？

分散について、Nで割るほうがこの性質を考えるとよい、という性質はあるのでしょうか？

お礼日時：2009/04/11 16:06

No.1 回答者： wisemensay 回答日時： 2009/04/11 10:30

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3に記載あり。

この回答へのお礼

Wikipediaも充実しているのですね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/04/11 16:06