Apple IDログイン機能メンテナンスのお知らせ

【 数Ⅰ 分散 】
問題
 20個の値からなるデータがあり,
 そのうちの8個の値の平均値は3,分散は4,
 残りの12個の値の平均値は8,分散は9である。
 またこのデータ全体の平均値は,6である。
 このデータの分散を求めよ。

答え
 13

質問
 解法を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

  • 回答ありがとうございましたm(_ _)m
    じっくり読ませていただきました。

    追加で教えていただきたいことが出てきたので、答えて頂けると助かります。

    『全体の偏差平方和』
    =「8個のデータの偏差平方和」
    +「12個のデータの偏差平方和」
    +「8個のデータの平均と全体平均6の平均の差の2乗和」
    +「12個のデータの平均と全体平均6の平均の差の2乗和」
    となる理由を∑を使わないで教えていただくことは可能ですか?
    もし可能でしたら∑なしで教えてください。

      補足日時:2023/02/18 00:23

A 回答 (4件)

分散は、ここでは不偏分散ではなく標本分散でしょうね。

高校課程では不偏分散を教えていないから。

という前提で説明しますと、

(分散)=(偏差平方和)/n

です。

全体の分散を求めるためには、全体の偏差平方和が必要です。そこで、個々の分散からそれを求めていきます。

8個のデータの偏差平方和:4×8=32
12個のデータの偏差平方和:9×12=108

さて、これらは、それぞれの平均からの乖離の2乗和ですが、全体の偏差平方和を考える時は全体平均である6からの偏差も考えねばなりません。
そこで、平均の差の2乗和を加えます。

8個のデータの平均偏差の2乗和:(3ー6)^2×8=9×8=72
12個のデータの偏差平方和:(8-6)^2×12=4×12=48

これらを加えると、

32+108+72+48=260

全体の平均からの偏差平方和が260ですから、

(分散)=260/20=13

導出終わり
    • good
    • 2
この回答へのお礼

助かりました

本当にありがとうございます‼
お陰様で試験までにどうにか理解できました。

お礼日時:2023/03/01 16:51

いったんこの問題は置いといて、一般に、データの個数をN, データをx[i](i=1,2,..,N)とし、Σはi=1〜Nの総和だとしますと、


平均μは
  μ = (Σ(x[i]))/N
だから
  Σ(x[i]) = μN
ですね。そして分散σ²は
  σ² = (Σ(x[i] - μ)²)/N
  = ((Σ(x[i]²) - 2μx[i] + μ²))/N
  = ((Σ(x[i]²) - (Σ(2μx[i])) + (Σ(μ²)))/N
  = ((Σ(x[i]²) - 2μ(Σ(x[i])) + μ²N)/N
  = (Σ(x[i]²))/N - 2μ(Σ(x[i]))/N + μ²
  = (Σ(x[i]²))/N - 2μ(μ) + μ²
  = (Σ(x[i]²))/N - μ²
これを標語的に言えば「分散は、データの2乗の平均と、データの平均の2乗の差」ということです。(これはよく出てくるんで、憶えておいて良いと思いますね。で、)そういうわけだから
  Σ(x[i]²) = (σ² + μ²)N
が成り立つ。

 さて問題に戻って、
N₁=8個のデータx₁[i](i=1,2,..,N₁)の平均をμ₁、分散をσ₁²とすると
  Σ(x₁[i]) = μ₁N₁
  Σ(x₁[i]²) = (σ₁² + μ₁²)N₁
N₂=12個のデータx₂[j](j=1,2,..,N₂)の平均をμ₂、分散をσ₂²とすると
  Σ(x₂[i]) = μ₂N₂
  Σ(x₂[i]²) = (σ₂² + μ₂²)N₂

そして、両者を合わせたN個
  N = N₁ + N₂
のデータx₁[i](i=1,2,..,N₁), x₂[j](j=1,2,..,N₂) の平均をμ、分散をσ²とすると、N個のデータ全部の合計は ((Σ(x₁[i]))+ (Σ(x₂[j])) だから
  μ = ((Σ(x₁[i]))+ (Σ(x₂[j])))/N
  = (μ₁N₁ + μ₂N₂)/N
(なので「このデータ全体の平均値は,6である。」とわざわざ教えてもらう必要はありませんでした。)
 また、N個のデータ全部について、それぞれの2乗の合計は ((Σ(x₁[i]²)) + (Σ(x₂[j])) だから
  σ² = (((Σ(x[i]²)) + (Σ(y[j]²)))/N - μ²
  = (((σ₁² + μ₁²)N₁) + ((σ₂² + μ₂²)N₂))/N - μ²
ってことです。
    • good
    • 1

#1です。



厳しい方から、ツッコミが入るといけないから、なぜ「個々の偏差平方和と平均偏差の2乗和を加えたもの」が全体の偏差平方和になるのか、証明をしておきます。

μ0を全平均、μ1を小集団の平均とします。

Σ(xーμ0)^2=Σ(x-μ1+μ1ーμ0)^2
=Σ(x-μ1)^2+2(μ1ーμ0)Σ(x-μ1)+Σ(μ1ーμ0)^2

ここで、Σ(x-μ1)=Σxーnμ1=nμ1ーnμ1=0 だから、

∴ Σ(xーμ0)^2=Σ(x-μ1)^2+Σ(μ1ーμ0)^2
    • good
    • 2

コピペ時の修正漏れを訂正させて下さい。

スミマセン。

誤)12個のデータの偏差平方和:(8-6)^2×12=4×12=48

正)12個のデータの平均偏差の2乗和:(8-6)^2×12=4×12=48
    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!