【 数Ⅰ 分散 】 問題 20個の値からなるデータがあり， そのうちの8個の値の平均値は3，分散は4

【 数Ⅰ 分散 】
問題
　20個の値からなるデータがあり，
　そのうちの8個の値の平均値は3，分散は4，
　残りの12個の値の平均値は8，分散は9である。
　またこのデータ全体の平均値は，6である。
　このデータの分散を求めよ。

答え
　13

質問
　解法を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございましたm(_ _)m
  じっくり読ませていただきました。
  
  追加で教えていただきたいことが出てきたので、答えて頂けると助かります。
  
  『全体の偏差平方和』
  ＝「8個のデータの偏差平方和」
  ＋「12個のデータの偏差平方和」
  ＋「8個のデータの平均と全体平均6の平均の差の2乗和」
  ＋「12個のデータの平均と全体平均6の平均の差の2乗和」
  となる理由を∑を使わないで教えていただくことは可能ですか？
  もし可能でしたら∑なしで教えてください。

    補足日時：2023/02/18 00:23

No.1 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/16 00:04

分散は、ここでは不偏分散ではなく標本分散でしょうね。

高校課程では不偏分散を教えていないから。

という前提で説明しますと、

（分散）＝（偏差平方和）／ｎ

です。

全体の分散を求めるためには、全体の偏差平方和が必要です。そこで、個々の分散からそれを求めていきます。

８個のデータの偏差平方和：４×８＝32
12個のデータの偏差平方和：９×12＝108

さて、これらは、それぞれの平均からの乖離の２乗和ですが、全体の偏差平方和を考える時は全体平均である６からの偏差も考えねばなりません。
そこで、平均の差の２乗和を加えます。

８個のデータの平均偏差の２乗和：(3ー6)^2×８＝９×８＝72
12個のデータの偏差平方和：(8－6)^2×12＝４×12＝48

これらを加えると、

32＋108＋72＋48＝260

全体の平均からの偏差平方和が260ですから、

（分散）＝260／20＝13

導出終わり

この回答へのお礼

本当にありがとうございます‼
お陰様で試験までにどうにか理解できました。

お礼日時：2023/03/01 16:51

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/17 12:10

いったんこの問題は置いといて、一般に、データの個数をN, データをx[i](i=1,2,..,N)とし、Σはi=1〜Nの総和だとしますと、

平均μは
　　μ = (Σ(x[i]))/N
だから
　　Σ(x[i]) = μN
ですね。そして分散σ²は
　　σ² = (Σ(x[i] - μ)²)/N
　　= ((Σ(x[i]²) - 2μx[i] + μ²))/N
　　= ((Σ(x[i]²) - (Σ(2μx[i])) + (Σ(μ²)))/N
　　= ((Σ(x[i]²) - 2μ(Σ(x[i])) + μ²N)/N
　　= (Σ(x[i]²))/N - 2μ(Σ(x[i]))/N + μ²
　　= (Σ(x[i]²))/N - 2μ(μ) + μ²
　　= (Σ(x[i]²))/N - μ²
これを標語的に言えば「分散は、データの2乗の平均と、データの平均の2乗の差」ということです。（これはよく出てくるんで、憶えておいて良いと思いますね。で、）そういうわけだから
　　Σ(x[i]²) = (σ² + μ²)N
が成り立つ。

　さて問題に戻って、
N₁=8個のデータx₁[i](i=1,2,..,N₁)の平均をμ₁、分散をσ₁²とすると
　　Σ(x₁[i]) = μ₁N₁
　　Σ(x₁[i]²) = (σ₁² + μ₁²)N₁
N₂=12個のデータx₂[j](j=1,2,..,N₂)の平均をμ₂、分散をσ₂²とすると
　　Σ(x₂[i]) = μ₂N₂
　　Σ(x₂[i]²) = (σ₂² + μ₂²)N₂

そして、両者を合わせたN個
　　N = N₁ + N₂
のデータx₁[i](i=1,2,..,N₁), x₂[j](j=1,2,..,N₂) の平均をμ、分散をσ²とすると、N個のデータ全部の合計は ((Σ(x₁[i]))+ (Σ(x₂[j])) だから
　　μ = ((Σ(x₁[i]))+ (Σ(x₂[j])))/N
　　= (μ₁N₁ + μ₂N₂)/N
（なので「このデータ全体の平均値は，6である。」とわざわざ教えてもらう必要はありませんでした。）
　また、N個のデータ全部について、それぞれの2乗の合計は ((Σ(x₁[i]²)) + (Σ(x₂[j])) だから
　　σ² = (((Σ(x[i]²)) + (Σ(y[j]²)))/N - μ²
　　= (((σ₁² + μ₁²)N₁) + ((σ₂² + μ₂²)N₂))/N - μ²
ってことです。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/16 03:47

#1です。

厳しい方から、ツッコミが入るといけないから、なぜ「個々の偏差平方和と平均偏差の２乗和を加えたもの」が全体の偏差平方和になるのか、証明をしておきます。

μ0を全平均、μ1を小集団の平均とします。

Σ(ｘーμ0)^2＝Σ(ｘ－μ1＋μ1ーμ0)^2
＝Σ(ｘ－μ1)^2＋2(μ1ーμ0)Σ(ｘ－μ1)＋Σ(μ1ーμ0)^2

ここで、Σ(ｘ－μ1)＝Σｘーｎμ1＝ｎμ1ーｎμ1＝0　だから、

∴　Σ(ｘーμ0)^2＝Σ(ｘ－μ1)^2＋Σ(μ1ーμ0)^2

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/16 00:12

コピペ時の修正漏れを訂正させて下さい。

スミマセン。

誤）12個のデータの偏差平方和：(8－6)^2×12＝４×12＝48
↓
正）12個のデータの平均偏差の２乗和：(8－6)^2×12＝４×12＝48