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No.5
- 回答日時:
点の座標のデータ(x,y)にはほとんど誤差がなくて、点が奇麗に楕円上に並んでいる、という前提でなら、以下の方法が使えます。
(1) x座標をA列, y座標をB列に並べます。たとえばデータが100個あるとするとA1~B100が埋まります。
(2) 各行について、x^2をC列、x*yをD列、y^2をE列に作ります。
(3) さらに、F1~F100に1を入れます。これで、A1~F100までが埋まりました。
(4) 範囲H1~M5を選択した状態で、セルH1に =mmult(transpose(A1:E100),A1:F100) と入力します。ここでenterとか押しちゃ駄目でして、最後の")"を入力した状態のまま、 Macなら commandキーを押しながらenter。(Windowsならcommandの代わりにcontrolキーだっけか。)
すると、数式バーの表示が勝手に {=mmult(transpose(A1:E100),A1:F100)} に変化します。そして、範囲H1~M5に数値が表示される。
(5) 範囲H7~L11を選択した状態で、セルH7に =minverse(H1:L5) と入力し、(4)と同様に commandキーを押しながらenter。
すると、範囲H7~L11に数値が表示されます。
(6) 範囲H13~H17を選択した状態で、セルH13に =mmult(H7:L11,M1:M5) と入力し、同様に commandキーを押しながらenter。
すると、範囲H13~H17に5個の数値が表示される。これらは上から順に、下記の式の係数a, b, c, d, eの近似値を表しています。
a x + b y + c x^2 + d xy + e y^2 = 1
つまりこれで楕円の方程式の係数が全部分かったということ。後はできるでしょ?
なお、(1)~(6)の手順の意味はというと、線形最小二乗法を応用して、データによく合う楕円のパラメータa,b,c,d,eの近似値を算出したのです。近似値の精度を良くするには、全部の点のx座標の平均値 m, y座標の平均値 nを使って、データ(x,y)を全部(x-m, y-n)に置き換えてから処理するのがオススメです。
No.4
- 回答日時:
xおよびyの刻み(点の間隔)にもよると思いますが、
xとyについてそれぞれ最大値と最小値の平均をとると
それらが(ほぼ)中心に近いのではないかと。
上記の刻みが細かくないと誤差が大きくなるけど。
中心が判ったら、今度は各点から中心までの距離を
求め、一番距離が大きい点と中心を結んだらそれが
長軸。この二点の座標から長軸の傾きが判るかと。
これも刻みが細かくないと誤差が出ますが。
せっかくエクセルなので近似曲線でも引いてみて、
その式を利用するとか。
No.3
- 回答日時:
何らかの方法で楕円の中心の位置を求め、これを原点とする楕円の方程式を次のように得たとします。
a・x^2+2h・xy+b・y^2=1.
(ただし、a>0、ab-h^2>0)
この楕円の軸がx、y軸となるように、Oのまわりにφだけ回転します。
計算により、
tan(2φ)=2h/(b-a)
を満たすようにφを選ぶとき、楕円の軸はx、y軸となります(|φ|<π/4)。
このとき楕円の方程式は、A・x^2+B・y^2=1の形となります。ただし、
A={(a-b)/2}・cos(2φ)-h・sin(2φ)+(a+b)/2、
B={(b-a)/2}・cos(2φ)+h・sin(2φ)+(a+b)/2.
です。
この(φ)が、軸の傾きです。
また、楕円の両軸の長さは、2/√A、2/√Bです。
No.1
- 回答日時:
楕円の一番長い軸(長軸)の長さsを測り、この長軸の両端をx軸に射影した長さpを測ります。
傾きはatan(p/s)で計算します。radianで出るので必要に応じて°に直してください。
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