高校数学 ＜ベクトルと空間図形＞

空間に4点 A(-2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2), D(2, -1, 0)がある. 3点A, B, Cを含む平面をTとする。
(1) 点Dから平面Tに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ.
(2) 平面Tにおいて, 3点A, B, Cを通る円Sの中心の座標と半径を求めよ.
(3) 点Pが円Sの周上を動くとき, DPの長さが最少になるPの座標を求めよ.

解答宜しくお願いします.

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/27 20:10

＞空間に4点 A(-2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2), D(2, -1, 0)がある.

＞3点A, B, Cを含む平面をTとする。
＞(1) 点Dから平面Tに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ.
平面Ｔをａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０とおく。
Ａを含むから、－２ａ＋ｄ＝０より、ａ＝(1/2)ｄ
Ｂを含むから、２ｂ＋ｄ＝０より、ｂ＝(-1/2)ｄ
Ｃを含むから、２ｃ＋ｄ＝０より、ｃ＝(-1/2)ｄ
よって、ａ：ｂ：ｃ：ｄ＝1/2：-1/2：-1/2：１＝１：－１：－１：２
よって、ｘ－ｙ－ｚ＋２＝０　だから、法線ベクトルｎ＝（１，－１，－１）
Ｈ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）とおくと、ＤＨ＝（ｘ0－２、ｙ0＋１、ｚ0）
ベクトルＤＨとｎが平行だから、ＤＨ＝ｔｎとおける。
ｘ0－２＝ｔ，ｙ0＋１＝－ｔ，ｚ0＝－ｔより、
ｘ0＝ｔ＋２，ｙ0＝－ｔ－１で、Ｈは平面上の点だから、
（ｔ＋２）－（－ｔ－１）－（－ｔ）＋２＝０より、ｔ＝-5/3
よって、Ｈ（１／３，２／３，５／３）

＞(2) 平面Tにおいて, 3点A, B, Cを通る円Sの中心の座標と半径を求めよ.
円Ｓの中心をＯ（ａ，ｂ，ｃ）、半径ｒとすると、
（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－ｂ）^2＋（ｚ－ｃ）^2＝ｒ^2
Ａを通るから、（－２－ａ）^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｒ^2
Ｂを通るから、ａ^2＋（２－ｂ）^2＋ｃ^2＝ｒ^2
Ｃを通るから、ａ^2＋ｂ^2＋（２－ｃ）^2＝ｒ^2
３つの式から、
４＋４ａ＝４－４ｂより、ｂ＝－ａ
４＋４ａ＝４－４ｃより、ｃ＝－ａ
中心Ｏは、平面Ｔ上の点だから、ａ－（－ａ）－（－ａ）＋２＝０より、ａ＝-2/3
よって、中心Ｏ（－２／３，２／３，２／３），
この座標を、上の３つの式のどれかに代入して、ｒ^2＝８／３より、
よって、半径ｒ＝２√６／３

＞(3) 点Pが円Sの周上を動くとき, DPの長さが最少になるPの座標を求めよ.
（１）の垂線ＤＨの長さは、Ｄから平面までの最小の長さなので、それを生かして
円周上のＰとＨを一直線上に持ってきて、直角三角形ＤＨＰを考えれば、
ＤＰの長さが最小になる。
Ｐ（ｘ1，ｙ1，ｚ1）とおく。
中心Ｏ、Ｐ、Ｈが一直線上にあれば良いから、ＯＰ＝ｋＯＨとおける。
｜ＯＰ｜^2＝ｋ^2｜ＯＨ｜^2
｜ＯＰ｜^2＝ｒ^2＝８／３
ＯＨ＝（1/3+2/3，2/3-2/3，5/3-2/3）＝（１，０，１）より、｜ＯＨ｜^2＝２
だから、８／３＝ｋ^2×２より、ｋ^2＝４／３から、ｋ＝２√３／３
ＯＰ＝（ｘ1+2/3，ｙ1-2/3，ｚ1-2/3）＝ｋ（１，０，１）より、
ｘ1+2/3＝ｋ＝２√３／３，ｙ1-2/3＝０，ｚ1-2/3＝ｋ＝２√３／３
よって、
ｘ1＝(2/3)（√３－１），ｙ1＝２／３，ｚ1＝(2/3)（√３＋１）　……Ｐの座標

でどうでしょうか？計算など確認してみて下さい。