数学ベクトルに関しての質問

座標空間の3点O(0,0,0)、A(1,1,1)、P(1,1,a) を考える。
（１）直線OA上の点で、Pに最も近いものをQとする。Qのx座標は______であり、PとQの距離は______である。
（2）Pを中心とする半径rの球が、ｘ軸、ｙ軸および直線OAの全てに接する（つまり各直線とただ一つの共有点を持つ）のは、(a,r)=______,_______の場合である。


この問題の_____の場所の解き方、求め方を教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/26 02:06

(1)

OAを通る直線上の点を (t、t、t)とすると
QはpからOAに下ろした垂線の足が線分OA上なら垂線の足
そうでなければOかA
(1、1、1)・(t-1、t-1、t-a)=0 →3t-2-a=0
t=(a+2)/3
よって、
a>1の時、Q=A
-2≦a≦1の時、Q=((a+2)/3、(a+2)/3、(a+2)/3)
a≦-2の時、Q=O

距離は計算して下さい(^_^;)

(2)
Pとx軸との距離 =√(1²+a²)=r
Pとy軸との距離=√(1²+a²)=r


PがOAと接する条件は-2≦a≦1

PとOAのの距離の2乗は
(PQ)²={(a+2)/3-1}²×2+{(a+2)/3-a}²
=(1/9)[{(a-1)^2}×2+(-2a+2)²]=(2/3)(a-1)²=r²

(PQ)²=(2/3)(a-1)²=Pとx、y軸との距離の2乗=1+a²

(1/3)a²+(4/3)a+(1/3)=0
a²+4a+1=0→a=(-4±√(16-4))/2=-2±√3
aの条件から a=-2+√(3)

r=√(1+a²)=√(8-4√(3))=√2√(4-2√3)=√2(√3-1)

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2022/05/26 00:10

（１）Qは「直線OA上の点」なので、

実数tを用いて、
(OQ→)= t(OA→)=(t, t, t) …①
と表せます。また、
「直線OA上の点で、Pに最も近い点」であるQは、「点Pから直線OAに降ろした垂線の足」になります。すると、
内積(PQ→)・(OA→)=0 になるので、
((OQ→)－(OP→))・(OA→)=0
(t-1, t-1, t-1-a)・(1,1,1)=0
(t-1)+(t-1)+(t-1-a)=0
3t-3-a=0
∴ t=(a+3)/3
よって、Qのx座標は①より (a+3)/3。
PとQの距離=|PQ→|
= |(t-1, t-1, t-1-a)|
=√((a/3)^2 + (a/3)^2 +(-2a/3)^2)
=√(6a^2/9)= (√6/3)a。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/25 23:45

直線ＯAのベクトル方程式などから

この直線上の任意の点の座標をつかむ→(t,t,t)
これとPの距離が最短となるようtを求める
その際微分を用いて極小となるところを探ると楽かも

二番目
求めたtを使い計算

(2)
x軸Y軸の接点からそれぞれ半径を引く
(1,1.0)と接点と中心がつくる直角三角形に三平方の定理で
1²+a²＝r²
また、先に求めたQがＯAと球の接点だから
もう1つ式が立てられる
あとは連立方程式を解くだけ

ですよ