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直線を含む平面とはどのような平面のことをいうのでしょうか?
直線に垂直とはまた違いますよね?

A 回答 (2件)

直線上の異なる2点と直線上にない1点の3点を通る平面のことです。



直線上の1点を通り、かつ
直線の方向ベクトルとそれとは異なる方向ベクトルで貼られる平面
ともいえます。


直線mの方程式を媒介変数表示で
(x,y,z)=(1+2t,-1+3t,-2+t)
とすれば、直線上の2点は、たとえばA(1,-1,-2),B(3,2,-1)
と直線上にない点P(1,1,1)とすれば
直線mを含み点Pを通る平面は
(x,y,z)=(1+2t+s,-1+3t+s,-2+t+s)
となります(媒介変数表現)。
媒介変数を消去すれば
直線mを含み直線上にない点Pを通る平面は
2x-y-z-5=0
とも書けます。
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逆の言い方をすれば、「ある平面上に直線が存在している」ということになりますが、


そこから発展させていく方がわかりやすいかもしれません。

・平面の法線ベクトルと直線の方向ベクトルは直交します。
・ある直線を含む平面は無数に存在します。ちょうど「ある直線」を軸として回転させた形で無数に現れます。
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Q二平面の交線の方程式

二平面の交線の方程式

(1)二平面 x+2y-z-4=0 と x-y+2z-4=0 の交線の方程式を求めよ。
(2)(1)の交線と点(0,1,0)とを通る平面の方程式を求めよ。

解答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)x+2y-z-4=0
x-y+2z-4=0
をx,yの連立方程式として解くと
x=-z+4 (z=-x+4)
y=z
よって-x+4=y=z

(2) (-1,1,1)はこの交線の方向ベクトル
   (4,0,0)はこの交線上にあり,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(4,-1,0)
   2つのベクトル(-1,1,1),(4-1,0)に垂直なベクトル(1,4,-3)を求めて,これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を(x,y,z)とすると,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(x,y-1,z)は
(1,4,-3)と垂直より
x+4(y-1)-3z=0
∴ x+4y-3z-4=0

Q2直線を含む平面

タイトルの通り2直線を含む平面とはどういったことでしょうか?
中学生でもわかるように説明お願いします。

Aベストアンサー

2直線上の全ての点を含む平面のことです。
このことと
片方の直線上の異なる2点A,Bともう一方の直線上の点A,Bとは異なる点Cの3点を通る平面のことです。この平面ABCは直線AB,直線BC,直線ACを含みます。

Q平面の交線の方程式

2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
   ...続きを読む

Q2点を通り、平面1に垂直な平面2の求め方

A=(2,1,-1),B=(3,2,1)を通り,平面4x-y-z+2=0に垂直な平面のとき方を教えてください

Aベストアンサー

ベクトルABをAB↑と書き、
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の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t) ...(4)
と表すことができます。
(4)は2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面の媒介変数表示になります。
点P(x,y,z)のx,y,zは
x=2+s+4t ...(5-1), y=1+s-t ...(5-2), z=-1+2s-t ...(5-3)
となります。
これから媒介変数s,tを消去すればs,tを使わない平面の方程式が得られます。
(5-2)-(5-3)から
 y-z=2-s → s=2-y+z ...(6)
(6)を(5-2)に代入して
 t=1+s-y=3-2y+z ...(7)
(6),(7)を(5-1)に代入すれば
 x=4-y+z+12-8y+4z=16-9y+5z
移項して
 x+9y-5z-16=0 ...(答え)

ベクトルABをAB↑と書き、
点A,点Bの位置ベクトルをそれぞれA↑,B↑と書くことにします。
A↑,B↑は成分表示は座標と同じになります。

A,Bを通る直線の方向ベクトルAB↑は
AB↑=B↑-A↑=(3,2,1)-(2,1,-1)=(3-2,2-1,1-(-1))=(1,1,2) ...(1)

平面4x-y-z+2=0 ...(2)
の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t) ...(4)
と表すことができます。
(4)は2点A...続きを読む

Q3次元における、ベクトルに平行な平面の方程式

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よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

3次元における平面Pのベクトル方程式は、法線ベクトルを用いるのが一般的です。これは、Pに対して垂直なベクトルです。
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ご質問では、bに平行な平面となっていますので、まずbに垂直なベクトルを1つ求めればよいのです。(bに垂直なベクトルは法線ベクトルです)

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

Q平面の方程式についての質問です

問題:
2点A(2,1,-1),B(3,-1,2)を通り、直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3に平行な平面の方程式を求めよ。

まず:A、B 2点を通りの直線はx-2/3-2 = y-1/-1-1 =z+1/2+1 により
( L=1;M=-2;N=3 と この直線の上の点(2,1,-1)を使って )x-2+3z+3=0っていう平面の方程式を得る。
この方程式のベクトルは(1,-2,3)
直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3の点(2、,-3,1)と先に得たベクトル(1,-2,3)を使って、求める平面の方程式は:
1(x-2)+(-2)(y+3)+3(z-1)=0

この解き方は間違ったと思うので、お願いします。

Aベストアンサー

確かに間違っているみたいですね。

質問中の方法だと、ABに垂直な平面の方程式を出そうとしていることになります。

平面の法線ベクトルをnとおくと、n⊥AB、n⊥(もらった直線)
なので、ここから、法線ベクトルを決定するのが良いのでは?

n(a,b,c)とおき、
直線の方向ベクトルは(3、-4,3)
ABベクトルは(1,-2,3)

なので、
3a-4b+3c=0
 a-2b+3c=0

よって、a:b:c=3:3:1

n=(3,3,1)とすれば、後は解けますね?

Q点Oから平面ABCへ下ろした垂線の足Hを求める公式

三角形OABがあったとします。点Oから直線ABへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表したいとします。

ベクトルOA=a、ベクトルOB=b、ベクトルOH=hとします。
Hは直線AB上にあるので、実数tを用いて、
h=ta+(1-t)b
とかけます。
OH⊥ABより、内積を用いて、
h・(bーa)=0
これらより、
t=b・(bーa)/|b-a|^2
となり、結局、
h={b・(bーa)/|b-a|^2 }a+{a・(aーb)/|a-b|^2 }b
などと表すことができました。
別のもとめ方として、垂線とは最短線のことなので、h=ta+(1-t)bの自身の内積をとり、tで微分したときの値が0であることからも、tが計算できます。

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表現方法がすごく煩雑になりそうですが、外積または行列式を用いれば簡単になり、また、さらなるn次元へ拡張した公式も推測できそうな気がするのですが。

三角形OABがあったとします。点Oから直線ABへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表したいとします。

ベクトルOA=a、ベクトルOB=b、ベクトルOH=hとします。
Hは直線AB上にあるので、実数tを用いて、
h=ta+(1-t)b
とかけます。
OH⊥ABより、内積を用いて、
h・(bーa)=0
これらより、
t=b・(bーa)/|b-a|^2
となり、結局、
h={b・(bーa)/|b-a|^2 }a+{a・(aーb)/|a-b|^2 }b
などと表すことができました。
別のもとめ方として、垂...続きを読む

Aベストアンサー

勝手に面積と決めてしまい、失礼しました。垂線の長さでしたね。
垂線の長さ、OHは、OA、OB、またはOC のOH方向成分なので、
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分子は、a・(b×c)=[a,b,c]です。
そういえば、分母も|a×b+b×c+c×a|となりますね。
従って、改めて垂線の足をhと書けば、
h=[a,b,c]/|(a×b)+(b×c)+(c×a)| となります。

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q3次元空間内の直線の方程式

3次元空間内の直線の方程式の一般形は何でしょうか?
私の考えでは、2つの平面が交わった線として表すのでは
ないかと思いますが、どうでしょうか?つまり

aX+bY+cZ+d=0
eX+fY+gZ+h=0

いかがでしょうか?

Aベストアンサー

2点A,Bを通る直線の式は、
Oを原点、直線上の任意の点をPとし、
OPベクトルをp,OAベクトルをa,ABベクトルをdで表したとき
p=a+td  (tは実数)
とかけます。

たとえば2点A(-1,-2,-3),B(4,5,6)を通る直線の式は
p=(x,y,z)としたとき
(x,y,z)=(-1,-2,-3)+t(5,7,9)
となります。x,y,zはtの1次式で表されているので
すべてをt= の形に直すと
(x+1)/5=(y+2)/7=(z+3)/9
となり、こんなふうに直線ABを表現することも可能です。

もちろんpromeさんの表現の仕方も直線を表す1つの方法です。


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