数Ⅱ、円と直線に関する三角形の面積の最大値について。

次の問題の小門(3)がわかりません。どなたか詳しい説明をしていただけませんか。よろしくお願いします。
円Ｃ：ｘ2＋ｙ2－４ｘ＋２ｙ＝０ と、直線ℓ：ｙ＝－ｘ＋２ について、
(1) 円Ｃの中心の座標と半径を求めよ。　　　　　　　　　　➡　中心(２、－１)、半径√５　
(2) 直線ℓが円Ｃによって切り取られてできる線分の長さを求めよ。➡　３√２
(3) 直線ℓと円Ｃの２つの交点をＡ，Ｂとする。円Ｃ上に動点Ｐがあるとき、
　　 △ＡＢＰの面積の 最大値を求めよ。　　　　　　　　　　　 　➡　？？

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/13 00:15

円C：(x-2)²+(y+1)²=5……①

円Cの中心をQとすると、中心Q(2 , -1)、半径√5 の円

直線ｌ：x+y-2=0……②

△ABPの面積が最大になるのは、AB(=３√２) を底辺と考えたときの高さが最大になる場合です。
点Pと直線ｌの距離が最大になるような点Pの位置を求めます。

直線ｌに平行な直線ｍを直線ｌの近くで引くと直線ｍは円Cと2点で交わりますが、直線ｌとの距離を
広げていくと直線ｍと円Cとの共有点が１つになります。直線ｍが円Cの接線になる場合ですが、この
ときの接点をPとすると点Pと直線ｌの距離が最大になります。

点Pと円Cの中心Qを通る直線ｎを引くと、直線ｍは円C上の点Pにおける接線なので直線ｎは直線ｍと
垂直に交わり、直線ｌとも垂直に交わります。直線ｌとの交点をRとすると、△ABPの高さはPRです。

PR＝PQ+QR
PQは円Cの半径なので√5
△QABは二等辺三角形なので、QRはABの垂直二等分線になり、AR=(3√2/2)
△QRAで三平方の定理を利用して、
QR²+AR²＝AQ²
QR²+(3√2/2)²=(√5)²
QR²+9/2=5
QR²=1/2
QR=√2/2
よって、
PR＝√5+√2/2

したがって、△ABPの面積の最大値は、
(1/2)×３√２×(√5+√2/2)=(3/2)(1+√10)

この回答へのお礼

ここ数日、夏風邪で体調を崩し高校も休んでいました。ＰＣをやっと今日開き、解答に気づきました。丁寧な説明ありがとうございます。たまっていた宿題もこれでやっと再開できます。本当にありがとうございました。

お礼日時：2020/06/21 08:22

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/11 11:28

図を書けば、一目瞭然でしょ。

A,B,P の3点が 同一円周上にあって、
A,B が固定されていれば、
面積が 最大になる P は すぐ分かるでしょ。

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2020/06/11 00:27

(1)、(2)が解けているから、円と直線は図示できていますよね。

(3)は底辺をABで固定してみてください。
すると高さは円C上のどこかにある点Pと直線ℓの距離になり、
△ＡＢＰの面積のが最大となるときは、底辺を固定しているから
高さが最大となるとき→点Pと直線ℓの距離が最大となるとき
となります。