痔になりやすい生活習慣とは?

2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

A 回答 (3件)

akatukinoshoujoさん、こんにちは。



>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!
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#1さんの模範解答が出ていますので,他の方法を挙げてみます.


x-y+3z-1=0
x+2y-z-3=0

まず2平面の適当な共有点を探す.
z=0とおいてx-y-1=0,x+2y-3=0よりx=5/3,y=2/3
よって共有点の1つA(5/3,2/3,0)が見つかる.

[別解その1]同様にして他にあと1点を求めてその2点を通る直線が求める交線になる.

[別解その2]2平面の法線ベクトル→a=(1,-1,3),→b=(1,2,-1)の両方に直交するベクトルの1つを外積の利用[→a×→b=(-5,4,3)に平行なもの] or →n=(p,q,r) とおいて内積0で比を決めると,→n=(5,-4,-3)ととれて,これは2平面に平行なので交線の方向ベクトルの1つである.
よって,共有点Aを通り,→nを方向ベクトルとする直線を求める.
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交線とは、二つの平面の共通部分です。

したがって、連立方程式
 x-y+3z-1=0
 x+2y-z-3=0
が、交線の方程式になります。これを、一般的な直線の方程式に直すには、例えば、xを消去してzについて解き、また、yを消去してzについて解き、z=f(x)=g(y)とすればいいわけです。
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Aベストアンサー

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よって-x+4=y=z

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   (4,0,0)はこの交線上にあり,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(4,-1,0)
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求める平面上の任意の点を(x,y,z)とすると,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(x,y-1,z)は
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(2)L上の点は(x,y,z)=(-7t, 3t, t)なのでS3のx,y,zに代入してt=1が求まると思いますので(-7,3,1)

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1つは
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の形です。いわゆる比例式です。考えようによっては
平面の式を二つ組み合わせただけとも読めます。
(l,m,n)は方向ベクトルといわれます。

連立方程式と考えて
x=(yの式)=(zの式)
の形にすればいいです。
yやzについて解くのもいいでしょう。
答は何通りでも書けます。

もう1つは媒介変数(例えばt)を使って
(x,y,z)=t(l,m,n)+(a,b,c)
の形で表す方法です。(媒介変数表示。)
(l,m,n)は方向ベクトル。(a,b,c)は
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と書いても同じこと。比例式を=tとおけばなりますね。

でご質問の場合はaを媒介変数と思えばほとんど答に
なっているし、

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他には適当な数を代入して定点を2つ求めて
2点を引き算したら方向ベクトルが求まるので
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連立方程式と考えて
x=(yの式)=(zの式)
の形にすればいいです。
yやzについて解くのもいいでしょう。
答は何通りでも書けます。

もう1つは媒介変数(例えばt)を使って
(x,y,z)=t(l,m,n)+(a,b,c)
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C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
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=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t) ...(4)
と表すことができます。
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点P(x,y,z)のx,y,zは
x=2+s+4t ...(5-1), y=1+s-t ...(5-2), z=-1+2s-t ...(5-3)
となります。
これから媒介変数s,tを消去すればs,tを使わない平面の方程式が得られます。
(5-2)-(5-3)から
 y-z=2-s → s=2-y+z ...(6)
(6)を(5-2)に代入して
 t=1+s-y=3-2y+z ...(7)
(6),(7)を(5-1)に代入すれば
 x=4-y+z+12-8y+4z=16-9y+5z
移項して
 x+9y-5z-16=0 ...(答え)

ベクトルABをAB↑と書き、
点A,点Bの位置ベクトルをそれぞれA↑,B↑と書くことにします。
A↑,B↑は成分表示は座標と同じになります。

A,Bを通る直線の方向ベクトルAB↑は
AB↑=B↑-A↑=(3,2,1)-(2,1,-1)=(3-2,2-1,1-(-1))=(1,1,2) ...(1)

平面4x-y-z+2=0 ...(2)
の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t) ...(4)
と表すことができます。
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直線上の異なる2点と直線上にない1点の3点を通る平面のことです。

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直線mを含み点Pを通る平面は
(x,y,z)=(1+2t+s,-1+3t+s,-2+t+s)
となります(媒介変数表現)。
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Q球と平面の交わりである円の中心と半径

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r^2=25-18=7
∴r=√7 …(3)
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この法線上に点(a,b,c)があることから
 a/3=-b/4=c/5=t…(5)
a=3t,b=-4t,c=t …(6)
(6)を(2)に代入
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Q線形代数の3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式

線形代数の、3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式の問題を教えて下さい
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1
  2
-1
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という問題です。皆さんお願いします
教えて下さい

Aベストアンサー

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/2=u、2-z=-u→z-2=u
よって直線の方程式は4-x=(5-y)/2=z-2・・・答
x+2y-z=0に4-x=(5-y)/2→y=2x-3、4-x=z-2→z=6-xを代入
x+2(2x-3)-(6-x)=6x-12=0、x=2、y=2*2-3=1、z=6-2=4
よってLとS の交点は(2,1,4)・・・答
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
>3点(0,0,0)、(4,5,2)、(2,1,4)を含む平面上の任意の
点を(x,y,z)とすると、u,vを実数として
↑(x,y,z)=u↑(4,5,2)+v↑(2,1,4)
要素を比較してx=4u+2v(ア)、y=5u+v(イ)、z=2u+4v(ウ)
(ア)(イ)からu,vをx,yで表すとu=(2y-x)/6、v=(5x-4y)/6
これらを(ウ)に代入して
z=2u+4v=2{(2y-x)/6}+4{(5x-4y)/6}=(3x-2y)
よって、3x-2y-z=0・・・答

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>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/...続きを読む


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