No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>下の2つの平面「の交線」と原点を通る平面の方程式を求める<
とする。
まず、与えられた平面に平行で原点を通る平面では
A₁x+B₁y+C₁z=0 , A₂x+B₂y+C₂z=0・・・・①
となる。ここで
l=B₁C₂-B₂C₁=-1・2√7 - 1・2√2 = -2(√7+√2)
m=C₁A₂-C₂A₁=2√2・(-2) - 2√7・2 = -4(√7+√2)
n=A₁B₂-A₂B₁=2・1 - (-2)・(-1) = 0
となり、①の交線は公式から
x/l=y/m=z/0・・・・・②
となる。この直線は元の2平面の交線と平行だから、もとの交
線の式を求めるには、通過するある1点を求めればよい。ここ
で ②からz方向の変化はなく、この交線はx,y軸を通過する。つ
まり、x=0 か y=0 となる点を含む。
そこで、y=0となる、交線の座標を求めるため、元の平面の式
で、y=0として、x,zを求めればよい。すなわち
2x+2√2z=4a → x+√2z=2a
-2x+2√7z=6a → -x+√7z=3a
を解くと
D=1・2√7-2√2・(-1)=2(√7-√2)
x=(2a√7-3a√2)/D=(2√7-3√2)a/D=(8-√14)a/10
z=(3a+2a)/D=5a/D=(√7+√2)a/2
この座標を改めて
(x₀,0,z₀)=((8-√14)a/10, 0, (√7+√2)a/2)
とすると、元の2平面の交線は、この点を通る。したがって、
ベクトル外積 <x₀,0,z₀>×<l,m,0> は求める平面の法線になる。
<l,m,0>×<x₀,0,z₀>=<mz₀,-lz₀,-mx₀>
したがって、求める平面の式は
(mz₀)x+(-lz₀)y+(-mx₀)z=0
となる。ここで
mz₀=(-4(√7+√2))(√7+√2)a/2 = -2(9+2√14)a
-lz₀=-(-2(√7+√2))(√7+√2)a/2 = (9+2√14)a
-mx₀=-(-4(√7+√2))(8-√14)a/10 = (2/5)(6√7+√2)a
である。
なお、a=0のときは、交線が原点を通るので、求める平面は一
意に定まらず、交線を含む平面を交線周りに回転してできる平
面すべてである。 が、面倒なのでやめる。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 線形代数の平面についての問題がわからないです 2 2022/08/08 15:23
- 数学 この問題がわかりません。 B(2,1,-1)を通り、法線ベクトルn*=(3,-1,2)の平面αの平面 4 2022/05/09 16:47
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 数学 【 数I 2次関数 】 問題 放物線y=x²-4x+3を,y軸方向に平行移動 して原点を通るようにし 4 2022/06/26 22:03
- 大学・短大 複素関数についての問題です。 x軸、y軸をそれぞれ実軸、虚軸とする複素平面上の点は z=x+iyで与 1 2023/05/10 21:34
- 数学 x^2+y^2*+z^2=169の点(5,12,0)における接平面の方程式を求めよという問題です。自 1 2022/12/24 00:40
- 数学 数II 質問 放物線y=3-x²(-√3≦x≦√3)とx軸に平行な直線が異なる2点A,Bで交わるとき 3 2023/08/16 18:17
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 数学 (4)の実数tが変化するとき、平面πが通らない点の集合を求めよ。という問題です。 (z-2)t^2 1 2023/04/12 20:12
- 数学 平面と円柱の交点の求め方を教えていただきたいです. 6 2023/08/12 18:38
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報