線形代数の平面についての問題がわからないです

線形代数についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。
２つの平面 x-y+2z=2, 2x-y+z=1 の交線を求めてください。また、点(1,2,4)を通り、交線に直行する平面の方程式を求めてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/08 19:48

1.

２つの平面の法線ベクトルは
　<1,-1,2> , <2,-1,1>
となる。交線の方向ベクトルは、この２つの法線ベクトルに垂直
なので、その外積になるから
　<1,-1,2>×<2,-1,1>=<-1+2,4-1,-1+2>=<1,3,1>
となる。

あとは、交線上の1点を求めれればよいから、２つの平面で
x=0 とすると y,zの連立式
　-y+2z=2 , -y+z=1
から、
　z=1, y=0
をえる。したがって、求める交線の式は
　x/1=y/3=(z-1)/1
となる。

2.
交線に直交する平面の法線ベクトルは交線の方向ベクトルになる
から
　<1,3,1>
である。すると (1,2,4)を通る平面の式は
　1(x-1)+3(y-2)+1(z-4)=0
→ x+3y+z=11

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/08 19:42

x-y+2z=2…(1)

2x-y+z=1…(2)

(2)-(1)から
x-z=-1
x+1=z
2x-y+x+1=1
3x=y
(x,y,z)=(x,3x,x+1)=x(1,3,1)+(0,0,1)
∴交線は
x=y/3=z-1

交線の方向ベクトル
(1,3,1)
を法線にもつ
点
(1,2,4)
を通る平面の方程式は

x-1+3(y-2)+z-4=0
x+3y+z=1+6+4=11
∴
x+3y+z=11